Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (4x^2+9x-1)/(x+2)

Gráfico de la función y = (4x^2+9x-1)/(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
       4*x  + 9*x - 1
f(x) = --------------
           x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{x + 2}$$ 
f = (4*x^2 + 9*x - 1)/(x + 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{97}}{8}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{97}}{8} - \frac{9}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.106107225224513$$
$$x_{2} = -2.35610722522451$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*x^2 + 9*x - 1)/(x + 2).
$$\frac{-1 + \left(4 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 9\right)}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2}$$
Punto:
(0, -1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x + 9}{x + 2} - \frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(4 - \frac{8 x + 9}{x + 2} + \frac{4 x^{2} + 9 x - 1}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{x + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 + 9*x - 1)/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{x \left(x + 2\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{x \left(x + 2\right)}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 4 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{x + 2} = \frac{4 x^{2} - 9 x - 1}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(4 x^{2} + 9 x\right) - 1}{x + 2} = - \frac{4 x^{2} - 9 x - 1}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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