Sr Examen

Gráfico de la función y = log5*x/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       log(5*x)
f(x) = --------
          x    
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(5 x \right)}}{x}$$
f = log(5*x)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(5 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(5*x)/x.
$$\frac{\log{\left(0 \cdot 5 \right)}}{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\log{\left(5 x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{e}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
 E     -1 
(-, 5*e  )
 5        


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{e}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{e}{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{e}{5}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \log{\left(5 x \right)} - 3}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{e^{\frac{3}{2}}}{5}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \log{\left(5 x \right)} - 3}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(5 x \right)} - 3}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{e^{\frac{3}{2}}}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{e^{\frac{3}{2}}}{5}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(5*x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(5 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(5 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(5 x \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(- 5 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(5 x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(- 5 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar