Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^3+8)/x^2
-
x^3-147*x+11
-
x^3-12
-
x^3-12*x+7
-
Expresiones idénticas
- x^ dos (x^ dos - uno)(x^ dos - tres)
- x al cuadrado (x al cuadrado menos 1)(x al cuadrado menos 3)
- x en el grado dos (x en el grado dos menos uno)(x en el grado dos menos tres)
- x2(x2-1)(x2-3)
- x2x2-1x2-3
- x²(x²-1)(x²-3)
- x en el grado 2(x en el grado 2-1)(x en el grado 2-3)
- x^2x^2-1x^2-3
-
Expresiones semejantes
- x^2(x^2+1)(x^2-3)
- x^2(x^2-1)(x^2+3)
Gráfico de la función y = x^2(x^2-1)(x^2-3)
Solución
Ha introducido
[src]
2 / 2 \ / 2 \ f(x) = x *\x - 1/*\x - 3/
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)$$
f = (x^2*(x^2 - 1))*(x^2 - 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = - \sqrt{3}$$
$$x_{5} = \sqrt{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{5} = -1.73205080756888$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = - \sqrt{3}$$
$$x_{5} = \sqrt{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{5} = -1.73205080756888$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x^{3} \left(x^{2} - 1\right) + \left(x^{2} - 3\right) \left(2 x^{3} + 2 x \left(x^{2} - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}$$
$$x_{5} = \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x^{3} \left(x^{2} - 1\right) + \left(x^{2} - 3\right) \left(2 x^{3} + 2 x \left(x^{2} - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}$$
$$x_{5} = \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
___________
/ ___ / ___\ / ___\ / ___\
/ 4 \/ 7 | 5 \/ 7 | |1 \/ 7 | |4 \/ 7 |
(- / - - -----, |- - - -----|*|- - -----|*|- - -----|)
\/ 3 3 \ 3 3 / \3 3 / \3 3 / ___________
/ ___ / ___\ / ___\ / ___\
/ 4 \/ 7 | 5 \/ 7 | |1 \/ 7 | |4 \/ 7 |
( / - - -----, |- - - -----|*|- - -----|*|- - -----|)
\/ 3 3 \ 3 3 / \3 3 / \3 3 / ___________
/ ___ / ___\ / ___\ / ___\
/ 4 \/ 7 | 5 \/ 7 | |1 \/ 7 | |4 \/ 7 |
(- / - + -----, |- - + -----|*|- + -----|*|- + -----|)
\/ 3 3 \ 3 3 / \3 3 / \3 3 / ___________
/ ___ / ___\ / ___\ / ___\
/ 4 \/ 7 | 5 \/ 7 | |1 \/ 7 | |4 \/ 7 |
( / - + -----, |- - + -----|*|- + -----|*|- + -----|)
\/ 3 3 \ 3 3 / \3 3 / \3 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right) + 4 x^{2} \left(2 x^{2} - 1\right) + \left(x^{2} - 3\right) \left(6 x^{2} - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{4}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{4}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{4}{5}}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{4}{5}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\sqrt{\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{4}{5}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{4}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{4}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}, \sqrt{\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{4}{5}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right) + 4 x^{2} \left(2 x^{2} - 1\right) + \left(x^{2} - 3\right) \left(6 x^{2} - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{4}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{4}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{4}{5}}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{4}{5}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\sqrt{\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{4}{5}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{4}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{4}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}, \sqrt{\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{4}{5}}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2*(x^2 - 1))*(x^2 - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x^{2} - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x^{2} - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x^{2} - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x^{2} - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right) = x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)$$
- Sí
$$x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right) = - x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right) = x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)$$
- Sí
$$x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right) = - x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} - 3\right)$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico