Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=-3x^2+12x
-
y=x^2+3x-10
- f(x)=7x^6
- 12x^2+4x^3-3x^4
-
Expresiones idénticas
- 1 dos x^2+ cuatro x^ tres -3x^4
- 12x al cuadrado más 4x al cubo menos 3x en el grado 4
- 1 dos x al cuadrado más cuatro x en el grado tres menos 3x en el grado 4
- 12x2+4x3-3x4
- 12x²+4x³-3x⁴
- 12x en el grado 2+4x en el grado 3-3x en el grado 4
-
Expresiones semejantes
- 12x^2-4x^3-3x^4
- 12x^2+4x^3+3x^4
Gráfico de la función y = 12x^2+4x^3-3x^4
Solución
Ha introducido
[src]
2 3 4 f(x) = 12*x + 4*x - 3*x
$$f{\left(x \right)} = - 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)$$
f = -3*x^4 + 4*x^3 + 12*x^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt{10}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{10}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.44151844011225$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.77485177344559$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt{10}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{10}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.44151844011225$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.77485177344559$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 5)
(0, 0)
(2, 32)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(- 3 x^{2} + 2 x + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(- 3 x^{2} + 2 x + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 12*x^2 + 4*x^3 - 3*x^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right) = - 3 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2}$$
- No
$$- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right) = - 3 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2}$$
- No
$$- 3 x^{4} + \left(4 x^{3} + 12 x^{2}\right) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar