Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-3x^2-2x+5)/(-1+4x)

Gráfico de la función y = (-3x^2-2x+5)/(-1+4x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2          
       - 3*x  - 2*x + 5
f(x) = ----------------
           -1 + 4*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5}{4 x - 1}$$ 
f = (-3*x^2 - 2*x + 5)/(4*x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.25$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5}{4 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1.66666666666667$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-3*x^2 - 2*x + 5)/(-1 + 4*x).
$$\frac{\left(- 3 \cdot 0^{2} - 0\right) + 5}{-1 + 0 \cdot 4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -5$$
Punto:
(0, -5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- 6 x - 2}{4 x - 1} - \frac{4 \left(\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5\right)}{\left(4 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{8 \left(3 x + 1\right)}{4 x - 1} - 3 - \frac{16 \left(3 x^{2} + 2 x - 5\right)}{\left(4 x - 1\right)^{2}}\right)}{4 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.25$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5}{4 x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5}{4 x - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-3*x^2 - 2*x + 5)/(-1 + 4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5}{x \left(4 x - 1\right)}\right) = - \frac{3}{4}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{3 x}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5}{x \left(4 x - 1\right)}\right) = - \frac{3}{4}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{3 x}{4}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5}{4 x - 1} = \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 5}{- 4 x - 1}$$
- No
$$\frac{\left(- 3 x^{2} - 2 x\right) + 5}{4 x - 1} = - \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 5}{- 4 x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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