Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
y^2+1
-
x/(x-1)
-
x/(x^2-1)
-
Expresiones idénticas
- x^ cinco - quince *x^ cuatro + ochenta y cinco *x^ tres - doscientos veinticinco *x^ dos + doscientos setenta y cuatro *x- ciento veinte
- x en el grado 5 menos 15 multiplicar por x en el grado 4 más 85 multiplicar por x al cubo menos 225 multiplicar por x al cuadrado más 274 multiplicar por x menos 120
- x en el grado cinco menos quince multiplicar por x en el grado cuatro más ochenta y cinco multiplicar por x en el grado tres menos doscientos veinticinco multiplicar por x en el grado dos más doscientos setenta y cuatro multiplicar por x menos ciento veinte
- x5-15*x4+85*x3-225*x2+274*x-120
- x⁵-15*x⁴+85*x³-225*x²+274*x-120
- x en el grado 5-15*x en el grado 4+85*x en el grado 3-225*x en el grado 2+274*x-120
- x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120
- x5-15x4+85x3-225x2+274x-120
-
Expresiones semejantes
- x^5-15*x^4-85*x^3-225*x^2+274*x-120
- x^5-15*x^4+85*x^3-225*x^2+274*x+120
- x^5+15*x^4+85*x^3-225*x^2+274*x-120
- x^5-15*x^4+85*x^3+225*x^2+274*x-120
- x^5-15*x^4+85*x^3-225*x^2-274*x-120
Gráfico de la función y = x^5-15*x^4+85*x^3-225*x^2+274*x-120
Solución
Ha introducido
[src]
5 4 3 2 f(x) = x - 15*x + 85*x - 225*x + 274*x - 120
$$f{\left(x \right)} = \left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120$$
f = 274*x - 225*x^2 + 85*x^3 + x^5 - 15*x^4 - 120
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
$$x_{5} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{4} = 2$$
$$x_{5} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
$$x_{5} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{4} = 2$$
$$x_{5} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$5 x^{4} - 60 x^{3} + 255 x^{2} - 450 x + 274 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}}\right)}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15}\right)}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}}\right)}{10}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15}\right)}{10}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}}\right)}{10}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}, \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$5 x^{4} - 60 x^{3} + 255 x^{2} - 450 x + 274 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}}\right)}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15}\right)}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 4 3 5
/ ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\
___ | ___ ___ / _____ | | ___ ___ / _____ | | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ |
-\/ 5 *\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / 45*\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / 3*\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / 137*\/ 5 *\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / 17*\/ 5 *\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / \/ 5 *\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 /
(---------------------------------------------, -120 - ----------------------------------------- - ---------------------------------------- - ----------------------------------------------- - ----------------------------------------------- - --------------------------------------------)
10 4 80 5 40 4000 2 4 3 5
/ ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\
___ | ___ ___ / _____ | | ___ ___ / _____ | | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ |
-\/ 5 *\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / 45*\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / 3*\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / 137*\/ 5 *\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / 17*\/ 5 *\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / \/ 5 *\- 6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 /
(---------------------------------------------, -120 - ----------------------------------------- - ---------------------------------------- - ----------------------------------------------- - ----------------------------------------------- - --------------------------------------------)
10 4 80 5 40 4000 2 4 5 3
/ ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\
___ | ___ ___ / _____ | | ___ ___ / _____ | | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ |
\/ 5 *\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / 45*\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / 3*\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / \/ 5 *\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / 17*\/ 5 *\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 / 137*\/ 5 *\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 - \/ 145 /
(-----------------------------------------, -120 - --------------------------------------- - -------------------------------------- + ------------------------------------------ + --------------------------------------------- + ---------------------------------------------)
10 4 80 4000 40 5 2 4 5 3
/ ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\ / ______________\
___ | ___ ___ / _____ | | ___ ___ / _____ | | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ | ___ | ___ ___ / _____ |
\/ 5 *\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / 45*\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / 3*\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / \/ 5 *\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / 17*\/ 5 *\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 / 137*\/ 5 *\6*\/ 5 + \/ 2 *\/ 15 + \/ 145 /
(-----------------------------------------, -120 - --------------------------------------- - -------------------------------------- + ------------------------------------------ + --------------------------------------------- + ---------------------------------------------)
10 4 80 4000 40 5 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}}\right)}{10}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15}\right)}{10}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5} \left(- 6 \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}}\right)}{10}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{145}} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}, \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{145} + 15} + 6 \sqrt{5}\right)}{10}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$10 \left(2 x^{3} - 18 x^{2} + 51 x - 45\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 3 - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} + 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 3\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2} + 3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[3, \frac{\sqrt{6}}{2} + 3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$10 \left(2 x^{3} - 18 x^{2} + 51 x - 45\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 3 - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} + 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 3\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2} + 3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[3, \frac{\sqrt{6}}{2} + 3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^5 - 15*x^4 + 85*x^3 - 225*x^2 + 274*x - 120, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120 = - x^{5} - 15 x^{4} - 85 x^{3} - 225 x^{2} - 274 x - 120$$
- No
$$\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120 = x^{5} + 15 x^{4} + 85 x^{3} + 225 x^{2} + 274 x + 120$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120 = - x^{5} - 15 x^{4} - 85 x^{3} - 225 x^{2} - 274 x - 120$$
- No
$$\left(274 x + \left(- 225 x^{2} + \left(85 x^{3} + \left(x^{5} - 15 x^{4}\right)\right)\right)\right) - 120 = x^{5} + 15 x^{4} + 85 x^{3} + 225 x^{2} + 274 x + 120$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar