Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (tanx-tanx²)/(1+tanx²)

Gráfico de la función y = (tanx-tanx²)/(1+tanx²)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2   
       tan(x) - tan (x)
f(x) = ----------------
                2      
         1 + tan (x)
f(x)=−tan⁡2(x)+tan⁡(x)tan⁡2(x)+1f{\left(x \right)} = \frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1} 
f = (-tan(x)^2 + tan(x))/(tan(x)^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−tan⁡2(x)+tan⁡(x)tan⁡2(x)+1=0\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=−74.6128255227576x_{1} = -74.6128255227576
x2=−33.7721210260903x_{2} = -33.7721210260903
x3=34.5575191894877x_{3} = 34.5575191894877
x4=−96.6039740978861x_{4} = -96.6039740978861
x5=3.92699081698724x_{5} = 3.92699081698724
x6=62.8318530717959x_{6} = 62.8318530717959
x7=60.4756585816035x_{7} = 60.4756585816035
x8=−99.7455667514759x_{8} = -99.7455667514759
x9=−43.9822971502571x_{9} = -43.9822971502571
x10=28.2743338823081x_{10} = 28.2743338823081
x11=−103.672557568463x_{11} = -103.672557568463
x12=−2.35619449019234x_{12} = -2.35619449019234
x13=−55.7632696012188x_{13} = -55.7632696012188
x14=63.6172512351933x_{14} = 63.6172512351933
x15=32.2013246992954x_{15} = 32.2013246992954
x16=−91.106186954104x_{16} = -91.106186954104
x17=56.5486677646163x_{17} = 56.5486677646163
x18=100.530964914873x_{18} = 100.530964914873
x19=57.3340659280137x_{19} = 57.3340659280137
x20=−90.3207887907066x_{20} = -90.3207887907066
x21=−15.707963267949x_{21} = -15.707963267949
x22=79.3252145031423x_{22} = 79.3252145031423
x23=−37.6991118430775x_{23} = -37.6991118430775
x24=91.8915851175014x_{24} = 91.8915851175014
x25=−72.2566310325652x_{25} = -72.2566310325652
x26=−106.028752058656x_{26} = -106.028752058656
x27=40.8407044966673x_{27} = 40.8407044966673
x28=47.1238898038469x_{28} = 47.1238898038469
x29=65.9734457253857x_{29} = 65.9734457253857
x30=13.3517687777566x_{30} = 13.3517687777566
x31=47.9092879672443x_{31} = 47.9092879672443
x32=12.5663706143592x_{32} = 12.5663706143592
x33=−11.7809724509617x_{33} = -11.7809724509617
x34=21.9911485751286x_{34} = 21.9911485751286
x35=−62.0464549083984x_{35} = -62.0464549083984
x36=−47.1238898038469x_{36} = -47.1238898038469
x37=−25.1327412287183x_{37} = -25.1327412287183
x38=−3.14159265358979x_{38} = -3.14159265358979
x39=−65.9734457253857x_{39} = -65.9734457253857
x40=−18.0641577581413x_{40} = -18.0641577581413
x41=82.4668071567321x_{41} = 82.4668071567321
x42=54.1924732744239x_{42} = 54.1924732744239
x43=78.5398163397448x_{43} = 78.5398163397448
x44=−69.1150383789755x_{44} = -69.1150383789755
x45=−77.7544181763474x_{45} = -77.7544181763474
x46=−46.3384916404494x_{46} = -46.3384916404494
x47=35.3429173528852x_{47} = 35.3429173528852
x48=22.776546738526x_{48} = 22.776546738526
x49=−97.3893722612836x_{49} = -97.3893722612836
x50=19.6349540849362x_{50} = 19.6349540849362
x51=−8.63937979737193x_{51} = -8.63937979737193
x52=−21.9911485751286x_{52} = -21.9911485751286
x53=−247.400421470196x_{53} = -247.400421470196
x54=−53.4070751110265x_{54} = -53.4070751110265
x55=85.6083998103219x_{55} = 85.6083998103219
x56=76.1836218495525x_{56} = 76.1836218495525
x57=69.9004365423729x_{57} = 69.9004365423729
x58=−59.6902604182061x_{58} = -59.6902604182061
x59=84.8230016469244x_{59} = 84.8230016469244
x60=98.174770424681x_{60} = 98.174770424681
x61=41.6261026600648x_{61} = 41.6261026600648
x62=−24.3473430653209x_{62} = -24.3473430653209
x63=−87.9645943005142x_{63} = -87.9645943005142
x64=−52.621676947629x_{64} = -52.621676947629
x65=−30.6305283725005x_{65} = -30.6305283725005
x66=6.28318530717959x_{66} = 6.28318530717959
x67=−193.99334635917x_{67} = -193.99334635917
x68=0x_{68} = 0
x69=−84.037603483527x_{69} = -84.037603483527
x70=10.2101761241668x_{70} = 10.2101761241668
x71=87.9645943005142x_{71} = 87.9645943005142
x72=43.9822971502571x_{72} = 43.9822971502571
x73=−75.398223686155x_{73} = -75.398223686155
x74=25.9181393921158x_{74} = 25.9181393921158
x75=−9.42477796076938x_{75} = -9.42477796076938
x76=−31.4159265358979x_{76} = -31.4159265358979
x77=72.2566310325652x_{77} = 72.2566310325652
x78=−68.329640215578x_{78} = -68.329640215578
x79=94.2477796076938x_{79} = 94.2477796076938
x80=91.106186954104x_{80} = 91.106186954104
x81=−40.0553063332699x_{81} = -40.0553063332699
x82=−78.5398163397448x_{82} = -78.5398163397448
x83=−81.6814089933346x_{83} = -81.6814089933346
x84=38.484510006475x_{84} = 38.484510006475
x85=18.8495559215388x_{85} = 18.8495559215388
x86=50.2654824574367x_{86} = 50.2654824574367
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (tan(x) - tan(x)^2)/(1 + tan(x)^2).
tan⁡(0)−tan⁡2(0)tan⁡2(0)+1\frac{\tan{\left(0 \right)} - \tan^{2}{\left(0 \right)}}{\tan^{2}{\left(0 \right)} + 1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(−tan⁡2(x)+tan⁡(x))(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)(tan⁡2(x)+1)2+−(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)+tan⁡2(x)+1tan⁡2(x)+1=0- \frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right) \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{- \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π8x_{1} = - \frac{3 \pi}{8}
x2=π8x_{2} = \frac{\pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
                                 2 
               ___   /       ___\  
 -3*pi  -1 - \/ 2  - \-1 - \/ 2 /  
(-----, --------------------------)
   8                        2      
                /       ___\       
            1 + \-1 - \/ 2 /       

                              2 
            ___   /       ___\  
 pi  -1 + \/ 2  - \-1 + \/ 2 /  
(--, --------------------------)
 8                       2      
             /       ___\       
         1 + \-1 + \/ 2 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3π8x_{1} = - \frac{3 \pi}{8}
Puntos máximos de la función:
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
Decrece en los intervalos
[−3π8,π8]\left[- \frac{3 \pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−3π8]∪[π8,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{8}\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((1−2tan⁡2(x)tan⁡2(x)+1)(tan⁡(x)−1)tan⁡(x)−3tan⁡2(x)+tan⁡(x)−1−2(−2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)tan⁡2(x)+1)=02 \left(\left(1 - \frac{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\tan{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} - 3 \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} - 1 - \frac{2 \left(- 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
x2=3π8x_{2} = \frac{3 \pi}{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π8]∪[3π8,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π8,3π8]\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(−tan⁡2(x)+tan⁡(x)tan⁡2(x)+1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−tan⁡2(x)+tan⁡(x)tan⁡2(x)+1)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (tan(x) - tan(x)^2)/(1 + tan(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−tan⁡2(x)+tan⁡(x)x(tan⁡2(x)+1))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(−tan⁡2(x)+tan⁡(x)x(tan⁡2(x)+1))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−tan⁡2(x)+tan⁡(x)tan⁡2(x)+1=−tan⁡2(x)−tan⁡(x)tan⁡2(x)+1\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}
- No
−tan⁡2(x)+tan⁡(x)tan⁡2(x)+1=−−tan⁡2(x)−tan⁡(x)tan⁡2(x)+1\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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