Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x-3)e^-x

Gráfico de la función y = (x-3)e^-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                -x
f(x) = (x - 3)*E
f(x)=e−x(x−3)f{\left(x \right)} = e^{- x} \left(x - 3\right) 
f = E^(-x)*(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-400000200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x(x−3)=0e^{- x} \left(x - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=85.4828412467504x_{1} = 85.4828412467504
x2=93.4517230466241x_{2} = 93.4517230466241
x3=71.5591096232555x_{3} = 71.5591096232555
x4=111.400841299949x_{4} = 111.400841299949
x5=97.4384664647568x_{5} = 97.4384664647568
x6=103.420862702525x_{6} = 103.420862702525
x7=42.020216210141x_{7} = 42.020216210141
x8=77.5221246603965x_{8} = 77.5221246603965
x9=45.9008089996782x_{9} = 45.9008089996782
x10=99.432316424891x_{10} = 99.432316424891
x11=36.3071598061728x_{11} = 36.3071598061728
x12=38.1905363866884x_{12} = 38.1905363866884
x13=3x_{13} = 3
x14=121.380091923383x_{14} = 121.380091923383
x15=89.466430197318x_{15} = 89.466430197318
x16=61.642856145511x_{16} = 61.642856145511
x17=101.426455152084x_{17} = 101.426455152084
x18=32.6626982028378x_{18} = 32.6626982028378
x19=83.4917816149558x_{19} = 83.4917816149558
x20=91.4588807455217x_{20} = 91.4588807455217
x21=57.6879649775293x_{21} = 57.6879649775293
x22=117.387900375534x_{22} = 117.387900375534
x23=47.853370487631x_{23} = 47.853370487631
x24=67.5886304003902x_{24} = 67.5886304003902
x25=109.405524706139x_{25} = 109.405524706139
x26=65.6052138551392x_{26} = 65.6052138551392
x27=51.7754697845928x_{27} = 51.7754697845928
x28=30.9653321772927x_{28} = 30.9653321772927
x29=53.7430576092052x_{29} = 53.7430576092052
x30=115.392040334004x_{30} = 115.392040334004
x31=87.4744046501982x_{31} = 87.4744046501982
x32=49.8119589630405x_{32} = 49.8119589630405
x33=40.0970717014418x_{33} = 40.0970717014418
x34=59.664342946604x_{34} = 59.664342946604
x35=34.2046743865559x_{35} = 34.2046743865559
x36=75.5336138177003x_{36} = 75.5336138177003
x37=55.714063380457x_{37} = 55.714063380457
x38=34.4578471962376x_{38} = 34.4578471962376
x39=43.9557499214057x_{39} = 43.9557499214057
x40=63.6232240789579x_{40} = 63.6232240789579
x41=119.383920620405x_{41} = 119.383920620405
x42=79.51136695866x_{42} = 79.51136695866
x43=81.5012725708786x_{43} = 81.5012725708786
x44=107.410413305772x_{44} = 107.410413305772
x45=113.396350396671x_{45} = 113.396350396671
x46=73.545912319012x_{46} = 73.545912319012
x47=69.5733090128955x_{47} = 69.5733090128955
x48=95.444927247289x_{48} = 95.444927247289
x49=105.415520933891x_{49} = 105.415520933891
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 3)*E^(-x).
−3e−0- 3 e^{- 0}
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(x−3)e−x+e−x=0- \left(x - 3\right) e^{- x} + e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Signos de extremos en los puntos:
     -4 
(4, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Decrece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Crece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−5)e−x=0\left(x - 5\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5x_{1} = 5

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5,∞)\left[5, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,5]\left(-\infty, 5\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x(x−3))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(x - 3\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−x(x−3))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(x - 3\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 3)*E^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−3)e−xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) e^{- x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−3)e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x(x−3)=(−x−3)exe^{- x} \left(x - 3\right) = \left(- x - 3\right) e^{x}
- No
e−x(x−3)=−(−x−3)exe^{- x} \left(x - 3\right) = - \left(- x - 3\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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