Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{6 x + 5}{x - 3} - \frac{\left(3 x^{2} + 5 x\right) - 25}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{51}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{51}}{3} + 3$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
| / ____\ ____|
____ | | \/ 51 | 5*\/ 51 |
____ -\/ 51 *|-10 + 3*|3 - ------| - --------|
\/ 51 \ \ 3 / 3 /
(3 - ------, -------------------------------------------)
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/ 2 \
| / ____\ ____|
____ | | \/ 51 | 5*\/ 51 |
____ \/ 51 *|-10 + 3*|3 + ------| + --------|
\/ 51 \ \ 3 / 3 /
(3 + ------, -----------------------------------------)
3 17
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{51}}{3} + 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{51}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \frac{\sqrt{51}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{51}}{3} + 3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3 - \frac{\sqrt{51}}{3}, \frac{\sqrt{51}}{3} + 3\right]$$