Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2-x+5
-
(x+1)*(x-2)^2
-
x*(-1-log(x))
-
-sqrt(1-x^2)
-
Expresiones idénticas
- -3cosx/(3sinx+ cinco)^ dos
- menos 3 coseno de x dividir por (3 seno de x más 5) al cuadrado
- menos 3 coseno de x dividir por (3 seno de x más cinco) en el grado dos
- -3cosx/(3sinx+5)2
- -3cosx/3sinx+52
- -3cosx/(3sinx+5)²
- -3cosx/(3sinx+5) en el grado 2
- -3cosx/3sinx+5^2
- -3cosx dividir por (3sinx+5)^2
-
Expresiones semejantes
- -3cosx/(3sinx-5)^2
- 3cosx/(3sinx+5)^2
Gráfico de la función y = -3cosx/(3sinx+5)^2
Solución
Ha introducido
[src]
-3*cos(x)
f(x) = ---------------
2
(3*sin(x) + 5)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}$$
f = (-3*cos(x))/(3*sin(x) + 5)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 102.101761241668$$
$$x_{2} = -1.5707963267949$$
$$x_{3} = 76.9690200129499$$
$$x_{4} = -23.5619449019235$$
$$x_{5} = -58.1194640914112$$
$$x_{6} = 80.1106126665397$$
$$x_{7} = -48.6946861306418$$
$$x_{8} = -29.845130209103$$
$$x_{9} = -4.71238898038469$$
$$x_{10} = -86.3937979737193$$
$$x_{11} = -36.1283155162826$$
$$x_{12} = -98.9601685880785$$
$$x_{13} = 1.5707963267949$$
$$x_{14} = 73.8274273593601$$
$$x_{15} = -92.6769832808989$$
$$x_{16} = 42.4115008234622$$
$$x_{17} = 14.1371669411541$$
$$x_{18} = 32.9867228626928$$
$$x_{19} = -10.9955742875643$$
$$x_{20} = 70.6858347057703$$
$$x_{21} = 36.1283155162826$$
$$x_{22} = 20.4203522483337$$
$$x_{23} = 45.553093477052$$
$$x_{24} = 83.2522053201295$$
$$x_{25} = 95.8185759344887$$
$$x_{26} = -67.5442420521806$$
$$x_{27} = -89.5353906273091$$
$$x_{28} = -54.9778714378214$$
$$x_{29} = -17.2787595947439$$
$$x_{30} = 26.7035375555132$$
$$x_{31} = -42.4115008234622$$
$$x_{32} = -7.85398163397448$$
$$x_{33} = -51.8362787842316$$
$$x_{34} = 89.5353906273091$$
$$x_{35} = 58.1194640914112$$
$$x_{36} = -80.1106126665397$$
$$x_{37} = -73.8274273593601$$
$$x_{38} = 86.3937979737193$$
$$x_{39} = 51.8362787842316$$
$$x_{40} = 39.2699081698724$$
$$x_{41} = 64.4026493985908$$
$$x_{42} = 7.85398163397448$$
$$x_{43} = -95.8185759344887$$
$$x_{44} = -14.1371669411541$$
$$x_{45} = 29.845130209103$$
$$x_{46} = -45.553093477052$$
$$x_{47} = -61.261056745001$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 102.101761241668$$
$$x_{2} = -1.5707963267949$$
$$x_{3} = 76.9690200129499$$
$$x_{4} = -23.5619449019235$$
$$x_{5} = -58.1194640914112$$
$$x_{6} = 80.1106126665397$$
$$x_{7} = -48.6946861306418$$
$$x_{8} = -29.845130209103$$
$$x_{9} = -4.71238898038469$$
$$x_{10} = -86.3937979737193$$
$$x_{11} = -36.1283155162826$$
$$x_{12} = -98.9601685880785$$
$$x_{13} = 1.5707963267949$$
$$x_{14} = 73.8274273593601$$
$$x_{15} = -92.6769832808989$$
$$x_{16} = 42.4115008234622$$
$$x_{17} = 14.1371669411541$$
$$x_{18} = 32.9867228626928$$
$$x_{19} = -10.9955742875643$$
$$x_{20} = 70.6858347057703$$
$$x_{21} = 36.1283155162826$$
$$x_{22} = 20.4203522483337$$
$$x_{23} = 45.553093477052$$
$$x_{24} = 83.2522053201295$$
$$x_{25} = 95.8185759344887$$
$$x_{26} = -67.5442420521806$$
$$x_{27} = -89.5353906273091$$
$$x_{28} = -54.9778714378214$$
$$x_{29} = -17.2787595947439$$
$$x_{30} = 26.7035375555132$$
$$x_{31} = -42.4115008234622$$
$$x_{32} = -7.85398163397448$$
$$x_{33} = -51.8362787842316$$
$$x_{34} = 89.5353906273091$$
$$x_{35} = 58.1194640914112$$
$$x_{36} = -80.1106126665397$$
$$x_{37} = -73.8274273593601$$
$$x_{38} = 86.3937979737193$$
$$x_{39} = 51.8362787842316$$
$$x_{40} = 39.2699081698724$$
$$x_{41} = 64.4026493985908$$
$$x_{42} = 7.85398163397448$$
$$x_{43} = -95.8185759344887$$
$$x_{44} = -14.1371669411541$$
$$x_{45} = 29.845130209103$$
$$x_{46} = -45.553093477052$$
$$x_{47} = -61.261056745001$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} + \frac{18 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / ________________\\
| | ____ ___ / ____ ||
/ ________________\ | |5 \/ 97 \/ 2 *\/ -11 + 5*\/ 97 ||
| ____ ___ / ____ | -3*cos|2*atan|-- + ------ + -------------------------||
|5 \/ 97 \/ 2 *\/ -11 + 5*\/ 97 | \ \12 12 12 //
(-2*atan|-- + ------ + -------------------------|, -------------------------------------------------------------)
\12 12 12 / 2
/ / / ________________\\\
| | | ____ ___ / ____ |||
| | |5 \/ 97 \/ 2 *\/ -11 + 5*\/ 97 |||
|5 - 3*sin|2*atan|-- + ------ + -------------------------|||
\ \ \12 12 12 /// / / ________________\\
| | ____ ___ / ____ ||
/ ________________\ | |5 \/ 97 \/ 2 *\/ -11 + 5*\/ 97 ||
| ____ ___ / ____ | -3*cos|2*atan|-- + ------ - -------------------------||
|5 \/ 97 \/ 2 *\/ -11 + 5*\/ 97 | \ \12 12 12 //
(-2*atan|-- + ------ - -------------------------|, -------------------------------------------------------------)
\12 12 12 / 2
/ / / ________________\\\
| | | ____ ___ / ____ |||
| | |5 \/ 97 \/ 2 *\/ -11 + 5*\/ 97 |||
|5 - 3*sin|2*atan|-- + ------ - -------------------------|||
\ \ \12 12 12 /// Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{-11 + 5 \sqrt{97}}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{97}}{12} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(- \frac{6 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{3 \sin{\left(x \right)} + 5}\right)}{3 \sin{\left(x \right)} + 5} + 1 - \frac{12 \sin{\left(x \right)}}{3 \sin{\left(x \right)} + 5}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{30}{29} + \frac{3 \sqrt{129}}{29} + \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{61 + 9 \sqrt{129}}}{29} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{61 + 9 \sqrt{129}}}{29} + \frac{30}{29} + \frac{3 \sqrt{129}}{29} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{61 + 9 \sqrt{129}}}{29} + \frac{30}{29} + \frac{3 \sqrt{129}}{29} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(- \frac{6 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{3 \sin{\left(x \right)} + 5}\right)}{3 \sin{\left(x \right)} + 5} + 1 - \frac{12 \sin{\left(x \right)}}{3 \sin{\left(x \right)} + 5}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{30}{29} + \frac{3 \sqrt{129}}{29} + \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{61 + 9 \sqrt{129}}}{29} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{61 + 9 \sqrt{129}}}{29} + \frac{30}{29} + \frac{3 \sqrt{129}}{29} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{61 + 9 \sqrt{129}}}{29} + \frac{30}{29} + \frac{3 \sqrt{129}}{29} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}\right) = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}\right) = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}\right) = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}\right) = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-3*cos(x))/(3*sin(x) + 5)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x \left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x \left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x \left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x \left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} = - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\left(5 - 3 \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} = \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\left(5 - 3 \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} = - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\left(5 - 3 \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(x \right)}}{\left(3 \sin{\left(x \right)} + 5\right)^{2}} = \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\left(5 - 3 \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar