Sr Examen

Gráfico de la función y = |2sin(2x)-1|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = |2*sin(2*x) - 1|
$$f{\left(x \right)} = \left|{2 \sin{\left(2 x \right)} - 1}\right|$$
f = Abs(2*sin(2*x) - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{2 \sin{\left(2 x \right)} - 1}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -8.11578102177363$$
$$x_{2} = -55.2396708256205$$
$$x_{3} = -81.4196096055355$$
$$x_{4} = -87.7027949127151$$
$$x_{5} = -18.5877565337396$$
$$x_{6} = 0.261799387799149$$
$$x_{7} = 35.8665161284835$$
$$x_{8} = -3064.88543296464$$
$$x_{9} = -71.9948316447661$$
$$x_{10} = 50.5272818452358$$
$$x_{11} = -6.02138591938044$$
$$x_{12} = 45.2912940892529$$
$$x_{13} = -74.0892267471593$$
$$x_{14} = 66.2352451131848$$
$$x_{15} = -30.1069295969022$$
$$x_{16} = -80.3724120543389$$
$$x_{17} = -65.7116463375865$$
$$x_{18} = 94.5095789954929$$
$$x_{19} = -89.7971900151083$$
$$x_{20} = 57.857664703612$$
$$x_{21} = -45.8148928648512$$
$$x_{22} = 22.2529479629277$$
$$x_{23} = 28.5361332701073$$
$$x_{24} = -36.3901149040818$$
$$x_{25} = 243506.155576684$$
$$x_{26} = -93.9859802198946$$
$$x_{27} = 60.9992573572018$$
$$x_{28} = -31.1541271480988$$
$$x_{29} = -21.7293491873294$$
$$x_{30} = -1.83259571459405$$
$$x_{31} = 79.8488132787406$$
$$x_{32} = 15.9697626557481$$
$$x_{33} = 44.2440965380563$$
$$x_{34} = -52.0980781720307$$
$$x_{35} = 151.058246760109$$
$$x_{36} = 7.59218224617533$$
$$x_{37} = -14.3989663289532$$
$$x_{38} = 63.093652459595$$
$$x_{39} = 37.9609112308767$$
$$x_{40} = -43.720497762458$$
$$x_{41} = 23.3001455141243$$
$$x_{42} = 59.9520598060052$$
$$x_{43} = -23.8237442897226$$
$$x_{44} = 73.565627971561$$
$$x_{45} = -67.8060414399797$$
$$x_{46} = 8873.16665067657$$
$$x_{47} = -59.4284610304069$$
$$x_{48} = 6.54498469497874$$
$$x_{49} = -37.4373124552784$$
$$x_{50} = 95.5567765466895$$
$$x_{51} = 88.2263936883134$$
$$x_{52} = 20.1585528605345$$
$$x_{53} = 13.8753675533549$$
$$x_{54} = -53.1452757232273$$
$$x_{55} = -96.0803753222878$$
$$x_{56} = -58.3812634792103$$
$$x_{57} = 51.5744793964324$$
$$x_{58} = 72.5184304203644$$
$$x_{59} = 42.1497014356631$$
$$x_{60} = 100.792764302673$$
$$x_{61} = 29.5833308213039$$
$$x_{62} = 81.9432083811338$$
$$x_{63} = -28.012534494509$$
$$x_{64} = -50.0036830696375$$
$$x_{65} = -62.5700536839967$$
$$x_{66} = -15.4461638801498$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(2*sin(2*x) - 1).
$$\left|{-1 + 2 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 \cos{\left(2 x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -41.6261026600648$$
$$x_{2} = 18.0641577581413$$
$$x_{3} = 25.9181393921158$$
$$x_{4} = 41.6261026600648$$
$$x_{5} = 40.0553063332699$$
$$x_{6} = -73.0420291959627$$
$$x_{7} = -47.9092879672443$$
$$x_{8} = 88.7499924639117$$
$$x_{9} = 96.6039740978861$$
$$x_{10} = 82.4668071567321$$
$$x_{11} = 65.1880475619882$$
$$x_{12} = -13.3517687777566$$
$$x_{13} = -62.0464549083984$$
$$x_{14} = 44.7676953136546$$
$$x_{15} = -24.3473430653209$$
$$x_{16} = -16.4933614313464$$
$$x_{17} = 19.6349540849362$$
$$x_{18} = -3.92699081698724$$
$$x_{19} = 52.621676947629$$
$$x_{20} = -84.037603483527$$
$$x_{21} = -49.4800842940392$$
$$x_{22} = -63.6172512351933$$
$$x_{23} = 55.7632696012188$$
$$x_{24} = 91.8915851175014$$
$$x_{25} = -117.02432634622$$
$$x_{26} = 60.4756585816035$$
$$x_{27} = -10.2101761241668$$
$$x_{28} = 32.2013246992954$$
$$x_{29} = -85.6083998103219$$
$$x_{30} = 33.7721210260903$$
$$x_{31} = -57.3340659280137$$
$$x_{32} = -32.2013246992954$$
$$x_{33} = -58.9048622548086$$
$$x_{34} = 30.6305283725005$$
$$x_{35} = -82.4668071567321$$
$$x_{36} = 3.92699081698724$$
$$x_{37} = 2.35619449019234$$
$$x_{38} = 1265.27644123329$$
$$x_{39} = 16.4933614313464$$
$$x_{40} = 76.1836218495525$$
$$x_{41} = -2.35619449019234$$
$$x_{42} = -90.3207887907066$$
$$x_{43} = -46.3384916404494$$
$$x_{44} = -98.174770424681$$
$$x_{45} = 46.3384916404494$$
$$x_{46} = 5.49778714378214$$
$$x_{47} = 47.9092879672443$$
$$x_{48} = 99.7455667514759$$
$$x_{49} = -91.8915851175014$$
$$x_{50} = -33.7721210260903$$
$$x_{51} = -19.6349540849362$$
$$x_{52} = -60.4756585816035$$
$$x_{53} = 27.4889357189107$$
$$x_{54} = -71.4712328691678$$
$$x_{55} = 84.037603483527$$
$$x_{56} = -76.1836218495525$$
$$x_{57} = -38.484510006475$$
$$x_{58} = 68.329640215578$$
$$x_{59} = 66.7588438887831$$
$$x_{60} = -11.7809724509617$$
$$x_{61} = -270.96236637212$$
$$x_{62} = -27.4889357189107$$
$$x_{63} = 62.0464549083984$$
$$x_{64} = -25.9181393921158$$
$$x_{65} = -40.0553063332699$$
$$x_{66} = -5.49778714378214$$
$$x_{67} = 54.1924732744239$$
$$x_{68} = -35.3429173528852$$
$$x_{69} = -52.621676947629$$
$$x_{70} = 90.3207887907066$$
$$x_{71} = -55.7632696012188$$
$$x_{72} = 11.7809724509617$$
$$x_{73} = 8.63937979737193$$
$$x_{74} = 74.6128255227576$$
$$x_{75} = -54.1924732744239$$
$$x_{76} = -99.7455667514759$$
$$x_{77} = -18.0641577581413$$
$$x_{78} = 38.484510006475$$
$$x_{79} = -77.7544181763474$$
$$x_{80} = -79.3252145031423$$
$$x_{81} = 10.2101761241668$$
$$x_{82} = 98.174770424681$$
$$x_{83} = -68.329640215578$$
$$x_{84} = -69.9004365423729$$
$$x_{85} = 69.9004365423729$$
$$x_{86} = 24.3473430653209$$
$$x_{87} = 219.126087587888$$
$$x_{88} = 14.9225651045515$$
$$x_{89} = -93.4623814442964$$
$$x_{90} = 77.7544181763474$$
Signos de extremos en los puntos:
(-41.62610266006476, 3)

(18.06415775814131, 3)

(25.918139392115794, 1)

(41.62610266006476, 1)

(40.05530633326986, 3)

(-73.0420291959627, 3)

(-47.909287967244346, 3)

(88.74999246391165, 1)

(96.60397409788614, 3)

(82.46680715673207, 1)

(65.18804756198821, 3)

(-13.351768777756622, 3)

(-62.04645490839842, 1)

(44.767695313654556, 1)

(-24.3473430653209, 1)

(-16.493361431346415, 3)

(19.634954084936208, 1)

(-3.9269908169872414, 3)

(52.621676947629034, 3)

(-84.03760348352696, 1)

(-49.480084294039244, 1)

(-63.617251235193315, 3)

(55.76326960121883, 3)

(91.89158511750145, 1)

(-117.0243263462198, 3)

(60.47565858160352, 1)

(-10.210176124166829, 3)

(32.201324699295384, 1)

(-85.60839981032187, 3)

(33.772121026090275, 3)

(-57.33406592801373, 3)

(-32.201324699295384, 3)

(-58.90486225480862, 1)

(30.630528372500486, 3)

(-82.46680715673207, 3)

(3.9269908169872414, 1)

(2.356194490192345, 3)

(1265.2764412332892, 3)

(16.493361431346415, 1)

(76.18362184955248, 1)

(-2.356194490192345, 1)

(-90.32078879070656, 1)

(-46.33849164044945, 1)

(-98.17477042468104, 3)

(46.33849164044945, 3)

(5.497787143782138, 3)

(47.909287967244346, 1)

(99.74556675147593, 3)

(-91.89158511750145, 3)

(-33.772121026090275, 1)

(-19.634954084936208, 3)

(-60.47565858160352, 3)

(27.488935718910692, 3)

(-71.47123286916779, 1)

(84.03760348352696, 3)

(-76.18362184955248, 3)

(-38.48451000647497, 3)

(68.329640215578, 3)

(66.7588438887831, 1)

(-11.780972450961725, 1)

(-270.9623663721197, 3)

(-27.488935718910692, 1)

(62.04645490839842, 3)

(-25.918139392115794, 3)

(-40.05530633326986, 1)

(-5.497787143782138, 1)

(54.19247327442393, 1)

(-35.34291735288517, 3)

(-52.621676947629034, 1)

(90.32078879070656, 3)

(-55.76326960121883, 1)

(11.780972450961725, 3)

(8.639379797371932, 3)

(74.61282552275759, 3)

(-54.19247327442393, 3)

(-99.74556675147593, 1)

(-18.06415775814131, 1)

(38.48451000647497, 1)

(-77.75441817634739, 1)

(-79.32521450314228, 3)

(10.210176124166829, 1)

(98.17477042468104, 1)

(-68.329640215578, 1)

(-69.9004365423729, 3)

(69.9004365423729, 1)

(24.3473430653209, 3)

(219.12608758788807, 3)

(14.922565104551518, 3)

(-93.46238144429635, 1)

(77.75441817634739, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{90} = -41.6261026600648$$
$$x_{90} = 18.0641577581413$$
$$x_{90} = 25.9181393921158$$
$$x_{90} = 41.6261026600648$$
$$x_{90} = 40.0553063332699$$
$$x_{90} = -73.0420291959627$$
$$x_{90} = -47.9092879672443$$
$$x_{90} = 88.7499924639117$$
$$x_{90} = 96.6039740978861$$
$$x_{90} = 82.4668071567321$$
$$x_{90} = 65.1880475619882$$
$$x_{90} = -13.3517687777566$$
$$x_{90} = -62.0464549083984$$
$$x_{90} = 44.7676953136546$$
$$x_{90} = -24.3473430653209$$
$$x_{90} = -16.4933614313464$$
$$x_{90} = 19.6349540849362$$
$$x_{90} = -3.92699081698724$$
$$x_{90} = 52.621676947629$$
$$x_{90} = -84.037603483527$$
$$x_{90} = -49.4800842940392$$
$$x_{90} = -63.6172512351933$$
$$x_{90} = 55.7632696012188$$
$$x_{90} = 91.8915851175014$$
$$x_{90} = -117.02432634622$$
$$x_{90} = 60.4756585816035$$
$$x_{90} = -10.2101761241668$$
$$x_{90} = 32.2013246992954$$
$$x_{90} = -85.6083998103219$$
$$x_{90} = 33.7721210260903$$
$$x_{90} = -57.3340659280137$$
$$x_{90} = -32.2013246992954$$
$$x_{90} = -58.9048622548086$$
$$x_{90} = 30.6305283725005$$
$$x_{90} = -82.4668071567321$$
$$x_{90} = 3.92699081698724$$
$$x_{90} = 2.35619449019234$$
$$x_{90} = 1265.27644123329$$
$$x_{90} = 16.4933614313464$$
$$x_{90} = 76.1836218495525$$
$$x_{90} = -2.35619449019234$$
$$x_{90} = -90.3207887907066$$
$$x_{90} = -46.3384916404494$$
$$x_{90} = -98.174770424681$$
$$x_{90} = 46.3384916404494$$
$$x_{90} = 5.49778714378214$$
$$x_{90} = 47.9092879672443$$
$$x_{90} = 99.7455667514759$$
$$x_{90} = -91.8915851175014$$
$$x_{90} = -33.7721210260903$$
$$x_{90} = -19.6349540849362$$
$$x_{90} = -60.4756585816035$$
$$x_{90} = 27.4889357189107$$
$$x_{90} = -71.4712328691678$$
$$x_{90} = 84.037603483527$$
$$x_{90} = -76.1836218495525$$
$$x_{90} = -38.484510006475$$
$$x_{90} = 68.329640215578$$
$$x_{90} = 66.7588438887831$$
$$x_{90} = -11.7809724509617$$
$$x_{90} = -270.96236637212$$
$$x_{90} = -27.4889357189107$$
$$x_{90} = 62.0464549083984$$
$$x_{90} = -25.9181393921158$$
$$x_{90} = -40.0553063332699$$
$$x_{90} = -5.49778714378214$$
$$x_{90} = 54.1924732744239$$
$$x_{90} = -35.3429173528852$$
$$x_{90} = -52.621676947629$$
$$x_{90} = 90.3207887907066$$
$$x_{90} = -55.7632696012188$$
$$x_{90} = 11.7809724509617$$
$$x_{90} = 8.63937979737193$$
$$x_{90} = 74.6128255227576$$
$$x_{90} = -54.1924732744239$$
$$x_{90} = -99.7455667514759$$
$$x_{90} = -18.0641577581413$$
$$x_{90} = 38.484510006475$$
$$x_{90} = -77.7544181763474$$
$$x_{90} = -79.3252145031423$$
$$x_{90} = 10.2101761241668$$
$$x_{90} = 98.174770424681$$
$$x_{90} = -68.329640215578$$
$$x_{90} = -69.9004365423729$$
$$x_{90} = 69.9004365423729$$
$$x_{90} = 24.3473430653209$$
$$x_{90} = 219.126087587888$$
$$x_{90} = 14.9225651045515$$
$$x_{90} = -93.4623814442964$$
$$x_{90} = 77.7544181763474$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -270.96236637212\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[1265.27644123329, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(- \sin{\left(2 x \right)} \operatorname{sign}{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 1 \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)} \delta\left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{2 \sin{\left(2 x \right)} - 1}\right| = \left|{\left\langle -3, 1\right\rangle}\right|$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left|{\left\langle -3, 1\right\rangle}\right|$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{2 \sin{\left(2 x \right)} - 1}\right| = \left|{\left\langle -3, 1\right\rangle}\right|$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left|{\left\langle -3, 1\right\rangle}\right|$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(2*sin(2*x) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{2 \sin{\left(2 x \right)} - 1}\right|}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{2 \sin{\left(2 x \right)} - 1}\right|}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{2 \sin{\left(2 x \right)} - 1}\right| = \left|{2 \sin{\left(2 x \right)} + 1}\right|$$
- No
$$\left|{2 \sin{\left(2 x \right)} - 1}\right| = - \left|{2 \sin{\left(2 x \right)} + 1}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar