Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada$$y \left(-1 + \frac{20}{y + 1}\right) \left(\left(-1 + \frac{20}{y + 1}\right) - 1\right) + \left(y - 1\right) \left(y \left(- \frac{20 \left(-1 + \frac{20}{y + 1}\right)}{\left(y + 1\right)^{2}} - \frac{20 \left(\left(-1 + \frac{20}{y + 1}\right) - 1\right)}{\left(y + 1\right)^{2}}\right) + \left(-1 + \frac{20}{y + 1}\right) \left(\left(-1 + \frac{20}{y + 1}\right) - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$y_{1} = -1 + 2 \sqrt{5}$$
$$y_{2} = \frac{29}{4} - \frac{\sqrt{769}}{4}$$
$$y_{3} = - 2 \sqrt{5} - 1$$
$$y_{4} = \frac{\sqrt{769}}{4} + \frac{29}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 2
___ / ___\ / ___\
(-1 + 2*\/ 5, \-1 + 2*\/ 5 / *\-2 + 2*\/ 5 / )
_____ / _____\ / _____\
29 \/ 769 / 20 \ / 20 \ |25 \/ 769 | |29 \/ 769 |
(-- - -------, |-1 + ------------|*|-2 + ------------|*|-- - -------|*|-- - -------|)
4 4 | _____| | _____| \4 4 / \4 4 /
| 33 \/ 769 | | 33 \/ 769 |
| -- - -------| | -- - -------|
\ 4 4 / \ 4 4 /
2 2
___ / ___\ / ___\
(-1 - 2*\/ 5, \-1 - 2*\/ 5 / *\-2 - 2*\/ 5 / )
_____ / _____\ / _____\
29 \/ 769 / 20 \ / 20 \ |25 \/ 769 | |29 \/ 769 |
(-- + -------, |-1 + ------------|*|-2 + ------------|*|-- + -------|*|-- + -------|)
4 4 | _____| | _____| \4 4 / \4 4 /
| 33 \/ 769 | | 33 \/ 769 |
| -- + -------| | -- + -------|
\ 4 4 / \ 4 4 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = \frac{29}{4} - \frac{\sqrt{769}}{4}$$
$$y_{2} = - 2 \sqrt{5} - 1$$
$$y_{3} = \frac{\sqrt{769}}{4} + \frac{29}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$y_{3} = -1 + 2 \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{29}{4} - \frac{\sqrt{769}}{4}, -1 + 2 \sqrt{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{769}}{4} + \frac{29}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{5} - 1\right]$$