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3*x^2+15*x+2*sqrt(x^2+5*x+1)
Trazado el gráfico de la función/ 3*x^2+15*x+2*sqrt(x^2+5*x+1)

Gráfico de la función y = 3*x^2+15*x+2*sqrt(x^2+5*x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                          ______________
          2              /  2           
f(x) = 3*x  + 15*x + 2*\/  x  + 5*x + 1
f(x)=(3x2+15x)+2(x2+5x)+1f{\left(x \right)} = \left(3 x^{2} + 15 x\right) + 2 \sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1} 
f = 3*x^2 + 15*x + 2*sqrt(x^2 + 5*x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3x2+15x)+2(x2+5x)+1=0\left(3 x^{2} + 15 x\right) + 2 \sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−52−233−8106x_{1} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{233 - 8 \sqrt{10}}}{6}
x2=−52+233−8106x_{2} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{233 - 8 \sqrt{10}}}{6}
Solución numérica
x1=−4.90197707176732x_{1} = -4.90197707176732
x2=−0.0980229282326786x_{2} = -0.0980229282326786
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*x^2 + 15*x + 2*sqrt(x^2 + 5*x + 1).
(3⋅02+0⋅15)+2(02+0⋅5)+1\left(3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 15\right) + 2 \sqrt{\left(0^{2} + 0 \cdot 5\right) + 1}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x+2(x+52)(x2+5x)+1+15=06 x + \frac{2 \left(x + \frac{5}{2}\right)}{\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}} + 15 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−52x_{1} = - \frac{5}{2}
Signos de extremos en los puntos:
         75       ____ 
(-5/2, - -- + I*\/ 21 )
         4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((3x2+15x)+2(x2+5x)+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(3 x^{2} + 15 x\right) + 2 \sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((3x2+15x)+2(x2+5x)+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(3 x^{2} + 15 x\right) + 2 \sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*x^2 + 15*x + 2*sqrt(x^2 + 5*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x2+15x)+2(x2+5x)+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 15 x\right) + 2 \sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((3x2+15x)+2(x2+5x)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 15 x\right) + 2 \sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3x2+15x)+2(x2+5x)+1=3x2−15x+2x2−5x+1\left(3 x^{2} + 15 x\right) + 2 \sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1} = 3 x^{2} - 15 x + 2 \sqrt{x^{2} - 5 x + 1}
- No
(3x2+15x)+2(x2+5x)+1=−3x2+15x−2x2−5x+1\left(3 x^{2} + 15 x\right) + 2 \sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 1} = - 3 x^{2} + 15 x - 2 \sqrt{x^{2} - 5 x + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*x^2+15*x+2*sqrt(x^2+5*x+1)
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