Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (4x-3)/(x+4)^3

Gráfico de la función y = (4x-3)/(x+4)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       4*x - 3 
f(x) = --------
              3
       (x + 4)
f(x)=4x−3(x+4)3f{\left(x \right)} = \frac{4 x - 3}{\left(x + 4\right)^{3}} 
f = (4*x - 3)/(x + 4)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000001000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−4x_{1} = -4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4x−3(x+4)3=0\frac{4 x - 3}{\left(x + 4\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=34x_{1} = \frac{3}{4}
Solución numérica
x1=0.75x_{1} = 0.75
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*x - 3)/(x + 4)^3.
−3+0⋅443\frac{-3 + 0 \cdot 4}{4^{3}}
Resultado:
f(0)=−364f{\left(0 \right)} = - \frac{3}{64}
Punto:
(0, -3/64)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4(x+4)3−3(4x−3)(x+4)4=0\frac{4}{\left(x + 4\right)^{3}} - \frac{3 \left(4 x - 3\right)}{\left(x + 4\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=258x_{1} = \frac{25}{8}
Signos de extremos en los puntos:
       256  
(25/8, ----)
       9747


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=258x_{1} = \frac{25}{8}
Decrece en los intervalos
(−∞,258]\left(-\infty, \frac{25}{8}\right]
Crece en los intervalos
[258,∞)\left[\frac{25}{8}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(−2+4x−3x+4)(x+4)4=0\frac{12 \left(-2 + \frac{4 x - 3}{x + 4}\right)}{\left(x + 4\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=112x_{1} = \frac{11}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−4x_{1} = -4

lim⁡x→−4−(12(−2+4x−3x+4)(x+4)4)=∞\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{12 \left(-2 + \frac{4 x - 3}{x + 4}\right)}{\left(x + 4\right)^{4}}\right) = \infty
lim⁡x→−4+(12(−2+4x−3x+4)(x+4)4)=−∞\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{12 \left(-2 + \frac{4 x - 3}{x + 4}\right)}{\left(x + 4\right)^{4}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−4x_{1} = -4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[112,∞)\left[\frac{11}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,112]\left(-\infty, \frac{11}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−4x_{1} = -4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4x−3(x+4)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x - 3}{\left(x + 4\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(4x−3(x+4)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 3}{\left(x + 4\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x - 3)/(x + 4)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4x−3x(x+4)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x - 3}{x \left(x + 4\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4x−3x(x+4)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 3}{x \left(x + 4\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4x−3(x+4)3=−4x−3(4−x)3\frac{4 x - 3}{\left(x + 4\right)^{3}} = \frac{- 4 x - 3}{\left(4 - x\right)^{3}}
- No
4x−3(x+4)3=−−4x−3(4−x)3\frac{4 x - 3}{\left(x + 4\right)^{3}} = - \frac{- 4 x - 3}{\left(4 - x\right)^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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