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Trazado el gráfico de la función/ x^3-6x^2-9x-5

Gráfico de la función y = x^3-6x^2-9x-5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
f(x) = x  - 6*x  - 9*x - 5
f(x)=(−9x+(x3−6x2))−5f{\left(x \right)} = \left(- 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 5 
f = -9*x + x^3 - 6*x^2 - 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−9x+(x3−6x2))−5=0\left(- 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2+71492+3923+1492+3923x_{1} = 2 + \frac{7}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{149}}{2} + \frac{39}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{149}}{2} + \frac{39}{2}}
Solución numérica
x1=7.32236503424208x_{1} = 7.32236503424208
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 6*x^2 - 9*x - 5.
−5+((03−6⋅02)−0)-5 + \left(\left(0^{3} - 6 \cdot 0^{2}\right) - 0\right)
Resultado:
f(0)=−5f{\left(0 \right)} = -5
Punto:
(0, -5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−12x−9=03 x^{2} - 12 x - 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−7x_{1} = 2 - \sqrt{7}
x2=2+7x_{2} = 2 + \sqrt{7}
Signos de extremos en los puntos:
                             3                2           
       ___        /      ___\      /      ___\        ___ 
(2 - \/ 7, -23 + \2 - \/ 7 /  - 6*\2 - \/ 7 /  + 9*\/ 7 )

                             3                          2 
       ___        /      ___\        ___     /      ___\  
(2 + \/ 7, -23 + \2 + \/ 7 /  - 9*\/ 7  - 6*\2 + \/ 7 / )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2+7x_{1} = 2 + \sqrt{7}
Puntos máximos de la función:
x1=2−7x_{1} = 2 - \sqrt{7}
Decrece en los intervalos
(−∞,2−7]∪[2+7,∞)\left(-\infty, 2 - \sqrt{7}\right] \cup \left[2 + \sqrt{7}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2−7,2+7]\left[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−2)=06 \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−9x+(x3−6x2))−5)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 5\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−9x+(x3−6x2))−5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 6*x^2 - 9*x - 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−9x+(x3−6x2))−5x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−9x+(x3−6x2))−5x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−9x+(x3−6x2))−5=−x3−6x2+9x−5\left(- 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 5 = - x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 5
- No
(−9x+(x3−6x2))−5=x3+6x2−9x+5\left(- 9 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) - 5 = x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 5
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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