Sr Examen

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x^3-x^2-x+1
Trazado el gráfico de la función/ x^3-x^2-x+1

Gráfico de la función y = x^3-x^2-x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    2        
f(x) = x  - x  - x + 1
f(x)=(−x+(x3−x2))+1f{\left(x \right)} = \left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1 
f = -x + x^3 - x^2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x+(x3−x2))+1=0\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - x^2 - x + 1.
((03−02)−0)+1\left(\left(0^{3} - 0^{2}\right) - 0\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−2x−1=03 x^{2} - 2 x - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
       32 
(-1/3, --)
       27 

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−13]∪[1,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−13,1]\left[- \frac{1}{3}, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−1)=02 \left(3 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x+(x3−x2))+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+(x3−x2))+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - x^2 - x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x+(x3−x2))+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+(x3−x2))+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x+(x3−x2))+1=−x3−x2+x+1\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1 = - x^{3} - x^{2} + x + 1
- No
(−x+(x3−x2))+1=x3+x2−x−1\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1 = x^{3} + x^{2} - x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3-x^2-x+1
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