Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- ln(((x)/(x- dos)))/((x)/(x- dos))
- ln(((x) dividir por (x menos 2))) dividir por ((x) dividir por (x menos 2))
- ln(((x) dividir por (x menos dos))) dividir por ((x) dividir por (x menos dos))
- lnx/x-2/x/x-2
- ln(((x) dividir por (x-2))) dividir por ((x) dividir por (x-2))
-
Expresiones semejantes
- ln(((x)/(x+2)))/((x)/(x-2))
- ln(((x)/(x-2)))/((x)/(x+2))
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln(((x+5))/5)-1
- ln(x)*sin^2(pi/x)
- ln(|sinx|)+ln(|cosx|)+2*x*e^x
- ln(2x^2-3x^2)
- ln^3x^3
Gráfico de la función y = ln(((x)/(x-2)))/((x)/(x-2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
log|-----|
\x - 2/
f(x) = ----------
/ x \
|-----|
\x - 2/
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}}$$
f = log(x/(x - 2))/((x/(x - 2)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{x - 2}{x} \left(x - 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{x - 2}\right)}{x} + \frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{1}{x - 2}\right) \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 e}{-1 + e}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 e}{-1 + e}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 e}{-1 + e}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{2 e}{-1 + e}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{x - 2}{x} \left(x - 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{x - 2}\right)}{x} + \frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{1}{x - 2}\right) \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 e}{-1 + e}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2*E \ -1 / 2*E \
(-1 + E)*|-2 + ------|*e *log|----------------------|
\ -1 + E/ | / 2*E \|
|(-1 + E)*|-2 + ------||
2*E \ \ -1 + E//
(------, ------------------------------------------------------)
-1 + E 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 e}{-1 + e}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 e}{-1 + e}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{2 e}{-1 + e}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 18330.7812043892$$
$$x_{2} = -14808.7647891691$$
$$x_{3} = -17346.3255731681$$
$$x_{4} = 31872.8954034933$$
$$x_{5} = -26658.6411472815$$
$$x_{6} = 34413.8793240229$$
$$x_{7} = -40212.7230839146$$
$$x_{8} = -35129.2962990262$$
$$x_{9} = 22559.8801072693$$
$$x_{10} = -27505.5682472708$$
$$x_{11} = -24964.9138083331$$
$$x_{12} = -18192.4708177809$$
$$x_{13} = 42885.4794681863$$
$$x_{14} = 17485.5596903436$$
$$x_{15} = -39365.4479210204$$
$$x_{16} = -19885.0978147702$$
$$x_{17} = 36955.1314022513$$
$$x_{18} = -25811.7550534806$$
$$x_{19} = -38518.1864594909$$
$$x_{20} = 36108.0213136047$$
$$x_{21} = -32587.8240249443$$
$$x_{22} = -29199.5321726054$$
$$x_{23} = 29332.2552754127$$
$$x_{24} = 14951.8156305043$$
$$x_{25} = 32719.8560997604$$
$$x_{26} = 21713.7486331112$$
$$x_{27} = 19176.2422650639$$
$$x_{28} = 33566.8516595984$$
$$x_{29} = 38649.4206571413$$
$$x_{30} = 25098.9313987844$$
$$x_{31} = 20021.9084522371$$
$$x_{32} = 4.46429822386486$$
$$x_{33} = -41060.0111426619$$
$$x_{34} = -31740.711246271$$
$$x_{35} = -16500.3128934884$$
$$x_{36} = -30893.6236508545$$
$$x_{37} = -34282.1181078839$$
$$x_{38} = 24252.4841744831$$
$$x_{39} = -21578.0933735433$$
$$x_{40} = -33434.960189034$$
$$x_{41} = -19038.7327183272$$
$$x_{42} = 40343.7917621578$$
$$x_{43} = -23271.383795138$$
$$x_{44} = 28485.4689345518$$
$$x_{45} = 31025.9726553278$$
$$x_{46} = -37670.9395733608$$
$$x_{47} = 30179.0913148314$$
$$x_{48} = 41191.0046660014$$
$$x_{49} = 20867.7516428661$$
$$x_{50} = -15654.4517206715$$
$$x_{51} = 27638.7372781356$$
$$x_{52} = -28352.5329378518$$
$$x_{53} = 26792.0659823174$$
$$x_{54} = 39496.5966773261$$
$$x_{55} = -24118.1217500318$$
$$x_{56} = 23406.1298557318$$
$$x_{57} = -20731.5546420538$$
$$x_{58} = -41907.3113536866$$
$$x_{59} = 37802.2650661312$$
$$x_{60} = 42038.2342494396$$
$$x_{61} = 16640.6203091863$$
$$x_{62} = -22424.70553833$$
$$x_{63} = 35260.9366177431$$
$$x_{64} = -36823.7082126334$$
$$x_{65} = 25945.4615373041$$
$$x_{66} = -35976.4934117195$$
$$x_{67} = -30046.5632257131$$
$$x_{68} = 15796.016390923$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4.46429822386486, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.46429822386486\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 18330.7812043892$$
$$x_{2} = -14808.7647891691$$
$$x_{3} = -17346.3255731681$$
$$x_{4} = 31872.8954034933$$
$$x_{5} = -26658.6411472815$$
$$x_{6} = 34413.8793240229$$
$$x_{7} = -40212.7230839146$$
$$x_{8} = -35129.2962990262$$
$$x_{9} = 22559.8801072693$$
$$x_{10} = -27505.5682472708$$
$$x_{11} = -24964.9138083331$$
$$x_{12} = -18192.4708177809$$
$$x_{13} = 42885.4794681863$$
$$x_{14} = 17485.5596903436$$
$$x_{15} = -39365.4479210204$$
$$x_{16} = -19885.0978147702$$
$$x_{17} = 36955.1314022513$$
$$x_{18} = -25811.7550534806$$
$$x_{19} = -38518.1864594909$$
$$x_{20} = 36108.0213136047$$
$$x_{21} = -32587.8240249443$$
$$x_{22} = -29199.5321726054$$
$$x_{23} = 29332.2552754127$$
$$x_{24} = 14951.8156305043$$
$$x_{25} = 32719.8560997604$$
$$x_{26} = 21713.7486331112$$
$$x_{27} = 19176.2422650639$$
$$x_{28} = 33566.8516595984$$
$$x_{29} = 38649.4206571413$$
$$x_{30} = 25098.9313987844$$
$$x_{31} = 20021.9084522371$$
$$x_{32} = 4.46429822386486$$
$$x_{33} = -41060.0111426619$$
$$x_{34} = -31740.711246271$$
$$x_{35} = -16500.3128934884$$
$$x_{36} = -30893.6236508545$$
$$x_{37} = -34282.1181078839$$
$$x_{38} = 24252.4841744831$$
$$x_{39} = -21578.0933735433$$
$$x_{40} = -33434.960189034$$
$$x_{41} = -19038.7327183272$$
$$x_{42} = 40343.7917621578$$
$$x_{43} = -23271.383795138$$
$$x_{44} = 28485.4689345518$$
$$x_{45} = 31025.9726553278$$
$$x_{46} = -37670.9395733608$$
$$x_{47} = 30179.0913148314$$
$$x_{48} = 41191.0046660014$$
$$x_{49} = 20867.7516428661$$
$$x_{50} = -15654.4517206715$$
$$x_{51} = 27638.7372781356$$
$$x_{52} = -28352.5329378518$$
$$x_{53} = 26792.0659823174$$
$$x_{54} = 39496.5966773261$$
$$x_{55} = -24118.1217500318$$
$$x_{56} = 23406.1298557318$$
$$x_{57} = -20731.5546420538$$
$$x_{58} = -41907.3113536866$$
$$x_{59} = 37802.2650661312$$
$$x_{60} = 42038.2342494396$$
$$x_{61} = 16640.6203091863$$
$$x_{62} = -22424.70553833$$
$$x_{63} = 35260.9366177431$$
$$x_{64} = -36823.7082126334$$
$$x_{65} = 25945.4615373041$$
$$x_{66} = -35976.4934117195$$
$$x_{67} = -30046.5632257131$$
$$x_{68} = 15796.016390923$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4.46429822386486, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.46429822386486\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x/(x - 2))/((x/(x - 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x - 2}{x} \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x - 2}{x} \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x - 2}{x} \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x - 2}{x} \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = - \frac{\left(- x - 2\right) \log{\left(- \frac{x}{- x - 2} \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = \frac{\left(- x - 2\right) \log{\left(- \frac{x}{- x - 2} \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = - \frac{\left(- x - 2\right) \log{\left(- \frac{x}{- x - 2} \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = \frac{\left(- x - 2\right) \log{\left(- \frac{x}{- x - 2} \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar