Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ ln(((x)/(x-2)))/((x)/(x-2))

Gráfico de la función y = ln(((x)/(x-2)))/((x)/(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  x  \
       log|-----|
          \x - 2/
f(x) = ----------
        /  x  \  
        |-----|  
        \x - 2/
f(x)=log⁡(xx−2)x1x−2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} 
f = log(x/(x - 2))/((x/(x - 2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(xx−2)x1x−2=0\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x/(x - 2))/((x/(x - 2))).
log⁡(0−2)01−2\frac{\log{\left(\frac{0}{-2} \right)}}{0 \frac{1}{-2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x−2x(x−2)(−x(x−2)2+1x−2)x+(x−2)2(x(x−2)2−1x−2)log⁡(xx−2)x2=0\frac{\frac{x - 2}{x} \left(x - 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{x - 2}\right)}{x} + \frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{1}{x - 2}\right) \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2e−1+ex_{1} = \frac{2 e}{-1 + e}
Signos de extremos en los puntos:
                  /      2*E  \  -1    /         2*E          \ 
         (-1 + E)*|-2 + ------|*e  *log|----------------------| 
                  \     -1 + E/        |         /      2*E  \| 
                                       |(-1 + E)*|-2 + ------|| 
  2*E                                  \         \     -1 + E// 
(------, ------------------------------------------------------)
 -1 + E                            2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2e−1+ex_{1} = \frac{2 e}{-1 + e}
Decrece en los intervalos
(−∞,2e−1+e]\left(-\infty, \frac{2 e}{-1 + e}\right]
Crece en los intervalos
[2e−1+e,∞)\left[\frac{2 e}{-1 + e}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−2)(xx−2−1)(1x−2−2(xx−2−1)x−2log⁡(xx−2)x+1x)x2=0\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18330.7812043892x_{1} = 18330.7812043892
x2=−14808.7647891691x_{2} = -14808.7647891691
x3=−17346.3255731681x_{3} = -17346.3255731681
x4=31872.8954034933x_{4} = 31872.8954034933
x5=−26658.6411472815x_{5} = -26658.6411472815
x6=34413.8793240229x_{6} = 34413.8793240229
x7=−40212.7230839146x_{7} = -40212.7230839146
x8=−35129.2962990262x_{8} = -35129.2962990262
x9=22559.8801072693x_{9} = 22559.8801072693
x10=−27505.5682472708x_{10} = -27505.5682472708
x11=−24964.9138083331x_{11} = -24964.9138083331
x12=−18192.4708177809x_{12} = -18192.4708177809
x13=42885.4794681863x_{13} = 42885.4794681863
x14=17485.5596903436x_{14} = 17485.5596903436
x15=−39365.4479210204x_{15} = -39365.4479210204
x16=−19885.0978147702x_{16} = -19885.0978147702
x17=36955.1314022513x_{17} = 36955.1314022513
x18=−25811.7550534806x_{18} = -25811.7550534806
x19=−38518.1864594909x_{19} = -38518.1864594909
x20=36108.0213136047x_{20} = 36108.0213136047
x21=−32587.8240249443x_{21} = -32587.8240249443
x22=−29199.5321726054x_{22} = -29199.5321726054
x23=29332.2552754127x_{23} = 29332.2552754127
x24=14951.8156305043x_{24} = 14951.8156305043
x25=32719.8560997604x_{25} = 32719.8560997604
x26=21713.7486331112x_{26} = 21713.7486331112
x27=19176.2422650639x_{27} = 19176.2422650639
x28=33566.8516595984x_{28} = 33566.8516595984
x29=38649.4206571413x_{29} = 38649.4206571413
x30=25098.9313987844x_{30} = 25098.9313987844
x31=20021.9084522371x_{31} = 20021.9084522371
x32=4.46429822386486x_{32} = 4.46429822386486
x33=−41060.0111426619x_{33} = -41060.0111426619
x34=−31740.711246271x_{34} = -31740.711246271
x35=−16500.3128934884x_{35} = -16500.3128934884
x36=−30893.6236508545x_{36} = -30893.6236508545
x37=−34282.1181078839x_{37} = -34282.1181078839
x38=24252.4841744831x_{38} = 24252.4841744831
x39=−21578.0933735433x_{39} = -21578.0933735433
x40=−33434.960189034x_{40} = -33434.960189034
x41=−19038.7327183272x_{41} = -19038.7327183272
x42=40343.7917621578x_{42} = 40343.7917621578
x43=−23271.383795138x_{43} = -23271.383795138
x44=28485.4689345518x_{44} = 28485.4689345518
x45=31025.9726553278x_{45} = 31025.9726553278
x46=−37670.9395733608x_{46} = -37670.9395733608
x47=30179.0913148314x_{47} = 30179.0913148314
x48=41191.0046660014x_{48} = 41191.0046660014
x49=20867.7516428661x_{49} = 20867.7516428661
x50=−15654.4517206715x_{50} = -15654.4517206715
x51=27638.7372781356x_{51} = 27638.7372781356
x52=−28352.5329378518x_{52} = -28352.5329378518
x53=26792.0659823174x_{53} = 26792.0659823174
x54=39496.5966773261x_{54} = 39496.5966773261
x55=−24118.1217500318x_{55} = -24118.1217500318
x56=23406.1298557318x_{56} = 23406.1298557318
x57=−20731.5546420538x_{57} = -20731.5546420538
x58=−41907.3113536866x_{58} = -41907.3113536866
x59=37802.2650661312x_{59} = 37802.2650661312
x60=42038.2342494396x_{60} = 42038.2342494396
x61=16640.6203091863x_{61} = 16640.6203091863
x62=−22424.70553833x_{62} = -22424.70553833
x63=35260.9366177431x_{63} = 35260.9366177431
x64=−36823.7082126334x_{64} = -36823.7082126334
x65=25945.4615373041x_{65} = 25945.4615373041
x66=−35976.4934117195x_{66} = -35976.4934117195
x67=−30046.5632257131x_{67} = -30046.5632257131
x68=15796.016390923x_{68} = 15796.016390923
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→0−((x−2)(xx−2−1)(1x−2−2(xx−2−1)x−2log⁡(xx−2)x+1x)x2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+((x−2)(xx−2−1)(1x−2−2(xx−2−1)x−2log⁡(xx−2)x+1x)x2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−((x−2)(xx−2−1)(1x−2−2(xx−2−1)x−2log⁡(xx−2)x+1x)x2)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→2+((x−2)(xx−2−1)(1x−2−2(xx−2−1)x−2log⁡(xx−2)x+1x)x2)=−∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{x} - \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4.46429822386486,∞)\left[4.46429822386486, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4.46429822386486]\left(-\infty, 4.46429822386486\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(xx−2)x1x−2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(xx−2)x1x−2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x/(x - 2))/((x/(x - 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−2xlog⁡(xx−2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x - 2}{x} \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−2xlog⁡(xx−2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x - 2}{x} \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(xx−2)x1x−2=−(−x−2)log⁡(−x−x−2)x\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = - \frac{\left(- x - 2\right) \log{\left(- \frac{x}{- x - 2} \right)}}{x}
- No
log⁡(xx−2)x1x−2=(−x−2)log⁡(−x−x−2)x\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)}}{x \frac{1}{x - 2}} = \frac{\left(- x - 2\right) \log{\left(- \frac{x}{- x - 2} \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор