Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{2 x \left(\left(2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
/ ___\ / ___\ ___
___ -4 + \-1 + \/ 3 / - \-1 + \/ 3 / + 2*\/ 3
(-1 + \/ 3, --------------------------------------------)
2
/ ___\
-1 + \-1 + \/ 3 /
3 2
/ ___\ / ___\ ___
___ -4 + \-1 - \/ 3 / - \-1 - \/ 3 / - 2*\/ 3
(-1 - \/ 3, --------------------------------------------)
2
/ ___\
-1 + \-1 - \/ 3 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3} - 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3} - 1, -1 + \sqrt{3}\right]$$