Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))*(x-1)^2

Gráfico de la función y = ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))*(x-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /  x       1  \        2
f(x) = |----- - -----|*(x - 1) 
       \x - 1   x + 1/
f(x)=(x−1)2(xx−1−1x+1)f{\left(x \right)} = \left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) 
f = (x - 1)^2*(x/(x - 1) - 1/(x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1)2(xx−1−1x+1)=0\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x/(x - 1) - 1/(x + 1))*(x - 1)^2.
(−1)2(−1−1+0−1)\left(-1\right)^{2} \left(- 1^{-1} + \frac{0}{-1}\right)
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−1)2(−x(x−1)2+1(x+1)2+1x−1)+(2x−2)(xx−1−1x+1)=0\left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) + \left(2 x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−333+1933−43333+193−13x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                     /                                                                                  _______________\ 
                                                                                                     |                                                                               3 /          ____ | 
                                                                                                     |                                                    1            4             \/  19 + 3*\/ 33  | 
                                                                                                   2 |                                                  - - - -------------------- - ------------------| 
                                 _______________  /                                _______________\  |                                                    3        _______________           3         | 
                              3 /          ____   |                             3 /          ____ |  |                                                          3 /          ____                      | 
   1            4             \/  19 + 3*\/ 33    |  4            4             \/  19 + 3*\/ 33  |  |                        1                               3*\/  19 + 3*\/ 33                       | 
(- - - -------------------- - ------------------, |- - - -------------------- - ------------------| *|- --------------------------------------------- + -----------------------------------------------|)
   3        _______________           3           |  3        _______________           3         |  |                                _______________                                   _______________| 
         3 /          ____                        |        3 /          ____                      |  |                             3 /          ____                                 3 /          ____ | 
       3*\/  19 + 3*\/ 33                         \      3*\/  19 + 3*\/ 33                       /  |  2            4             \/  19 + 3*\/ 33       4            4             \/  19 + 3*\/ 33  | 
                                                                                                     |  - - -------------------- - ------------------   - - - -------------------- - ------------------| 
                                                                                                     |  3        _______________           3              3        _______________           3         | 
                                                                                                     |        3 /          ____                                 3 /          ____                      | 
                                                                                                     \      3*\/  19 + 3*\/ 33                                3*\/  19 + 3*\/ 33                       /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−333+1933−43333+193−13x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−333+1933−43333+193−13,∞)\left[- \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−333+1933−43333+193−13]\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(xx−1−(x−1)2(−x(x−1)3+1(x+1)3+1(x−1)2)+2(x−1)(−x(x−1)2+1(x+1)2+1x−1)−1x+1)=02 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+223x_{1} = -1 + 2^{\frac{2}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(xx−1−(x−1)2(−x(x−1)3+1(x+1)3+1(x−1)2)+2(x−1)(−x(x−1)2+1(x+1)2+1x−1)−1x+1))=∞\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2(xx−1−(x−1)2(−x(x−1)3+1(x+1)3+1(x−1)2)+2(x−1)(−x(x−1)2+1(x+1)2+1x−1)−1x+1))=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(xx−1−(x−1)2(−x(x−1)3+1(x+1)3+1(x−1)2)+2(x−1)(−x(x−1)2+1(x+1)2+1x−1)−1x+1))=1\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = 1
lim⁡x→1+(2(xx−1−(x−1)2(−x(x−1)3+1(x+1)3+1(x−1)2)+2(x−1)(−x(x−1)2+1(x+1)2+1x−1)−1x+1))=1\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = 1
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1+223,∞)\left[-1 + 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1+223]\left(-\infty, -1 + 2^{\frac{2}{3}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)2(xx−1−1x+1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)2(xx−1−1x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x/(x - 1) - 1/(x + 1))*(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)2(xx−1−1x+1)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)2(xx−1−1x+1)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1)2(xx−1−1x+1)=(−x−1)2(−x−x−1−11−x)\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \left(- x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{- x - 1} - \frac{1}{1 - x}\right)
- No
(x−1)2(xx−1−1x+1)=−(−x−1)2(−x−x−1−11−x)\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = - \left(- x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{- x - 1} - \frac{1}{1 - x}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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