Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
x^2+1/x
-
(x-1)/(x+2)
-
x^2/(x^3+1)
-
Expresiones idénticas
- ((x)/(x- uno)-(uno)/(x+ uno))*(x- uno)^ dos
- ((x) dividir por (x menos 1) menos (1) dividir por (x más 1)) multiplicar por (x menos 1) al cuadrado
- ((x) dividir por (x menos uno) menos (uno) dividir por (x más uno)) multiplicar por (x menos uno) en el grado dos
- ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))*(x-1)2
- x/x-1-1/x+1*x-12
- ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))*(x-1)²
- ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))*(x-1) en el grado 2
- ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))(x-1)^2
- ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))(x-1)2
- x/x-1-1/x+1x-12
- x/x-1-1/x+1x-1^2
- ((x) dividir por (x-1)-(1) dividir por (x+1))*(x-1)^2
-
Expresiones semejantes
- ((x)/(x-1)-(1)/(x-1))*(x-1)^2
- ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))*(x+1)^2
- ((x)/(x-1)+(1)/(x+1))*(x-1)^2
- ((x)/(x+1)-(1)/(x+1))*(x-1)^2
Gráfico de la función y = ((x)/(x-1)-(1)/(x+1))*(x-1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ x 1 \ 2
f(x) = |----- - -----|*(x - 1)
\x - 1 x + 1/
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$$
f = (x - 1)^2*(x/(x - 1) - 1/(x + 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) + \left(2 x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) + \left(2 x - 2\right) \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ _______________\
| 3 / ____ |
| 1 4 \/ 19 + 3*\/ 33 |
2 | - - - -------------------- - ------------------|
_______________ / _______________\ | 3 _______________ 3 |
3 / ____ | 3 / ____ | | 3 / ____ |
1 4 \/ 19 + 3*\/ 33 | 4 4 \/ 19 + 3*\/ 33 | | 1 3*\/ 19 + 3*\/ 33 |
(- - - -------------------- - ------------------, |- - - -------------------- - ------------------| *|- --------------------------------------------- + -----------------------------------------------|)
3 _______________ 3 | 3 _______________ 3 | | _______________ _______________|
3 / ____ | 3 / ____ | | 3 / ____ 3 / ____ |
3*\/ 19 + 3*\/ 33 \ 3*\/ 19 + 3*\/ 33 / | 2 4 \/ 19 + 3*\/ 33 4 4 \/ 19 + 3*\/ 33 |
| - - -------------------- - ------------------ - - - -------------------- - ------------------|
| 3 _______________ 3 3 _______________ 3 |
| 3 / ____ 3 / ____ |
\ 3*\/ 19 + 3*\/ 33 3*\/ 19 + 3*\/ 33 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{33} + 19}} - \frac{1}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + 2^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = 1$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1 + 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 + 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + 2^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{x}{x - 1} - \left(x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = 1$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1 + 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 + 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x/(x - 1) - 1/(x + 1))*(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \left(- x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{- x - 1} - \frac{1}{1 - x}\right)$$
- No
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = - \left(- x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{- x - 1} - \frac{1}{1 - x}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \left(- x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{- x - 1} - \frac{1}{1 - x}\right)$$
- No
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = - \left(- x - 1\right)^{2} \left(- \frac{x}{- x - 1} - \frac{1}{1 - x}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar