Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
sqrt(x^2-36)
-
y=log1/4(x)
- f(x)=1,x^3
- x²-4/x²-1
-
Expresiones idénticas
- x²- cuatro /x²- uno
- x² menos 4 dividir por x² menos 1
- x² menos cuatro dividir por x² menos uno
- x²-4 dividir por x²-1
-
Expresiones semejantes
- x²-4/x²+1
- x²+4/x²-1
Gráfico de la función y = x²-4/x²-1
Solución
Ha introducido
[src]
2 4
f(x) = x - -- - 1
2
x
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1$$
f = x^2 - 4/x^2 - 1
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.60048518044024$$
$$x_{2} = -1.60048518044024$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.60048518044024$$
$$x_{2} = -1.60048518044024$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}\right] \cup \left[\sqrt{2} \sqrt[4]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} \sqrt[4]{3}, \sqrt{2} \sqrt[4]{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{2} \sqrt[4]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 - \frac{12}{x^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} \sqrt[4]{3}\right] \cup \left[\sqrt{2} \sqrt[4]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} \sqrt[4]{3}, \sqrt{2} \sqrt[4]{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 4/x^2 - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1 = \left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1$$
- Sí
$$\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1 = \left(- x^{2} + \frac{4}{x^{2}}\right) + 1$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1 = \left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1$$
- Sí
$$\left(x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right) - 1 = \left(- x^{2} + \frac{4}{x^{2}}\right) + 1$$
- No
es decir, función
es
par