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Trazado el gráfico de la función/ y=arcctg1/x-5

Gráfico de la función y = y=arcctg1/x-5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       acot(1)    
f(x) = ------- - 5
          x
f(x)=−5+acot⁡(1)xf{\left(x \right)} = -5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x} 
f = -5 + acot(1)/x
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−5+acot⁡(1)x=0-5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π20x_{1} = \frac{\pi}{20}
Solución numérica
x1=0.15707963267949x_{1} = 0.15707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(1)/x - 5.
−5+acot⁡(1)0-5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−acot⁡(1)x2=0- \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2acot⁡(1)x3=0\frac{2 \operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−5+acot⁡(1)x)=−5\lim_{x \to -\infty}\left(-5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x}\right) = -5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−5y = -5
lim⁡x→∞(−5+acot⁡(1)x)=−5\lim_{x \to \infty}\left(-5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x}\right) = -5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−5y = -5
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(1)/x - 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−5+acot⁡(1)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−5+acot⁡(1)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−5+acot⁡(1)x=−5−acot⁡(1)x-5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x} = -5 - \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x}
- No
−5+acot⁡(1)x=5+acot⁡(1)x-5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x} = 5 + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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