Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$4 \left(e^{3 x} - 1\right) e^{- 2 x} - 3 e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(2^{\frac{2}{3}} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\log{\left(2^{\frac{2}{3}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(2^{\frac{2}{3}} \right)}\right]$$