Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2atan(1/(2x-4))+4

Gráfico de la función y = 2atan(1/(2x-4))+4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             /   1   \    
f(x) = 2*atan|-------| + 4
             \2*x - 4/
$$f{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 x - 4} \right)} + 4$$ 
f = 2*atan(1/(2*x - 4)) + 4
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 x - 4} \right)} + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*atan(1/(2*x - 4)) + 4.
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{-4 + 0 \cdot 2} \right)} + 4$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 4 - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} \right)}$$
Punto:
(0, 4 - 2*atan(1/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4}{\left(1 + \frac{1}{\left(2 x - 4\right)^{2}}\right) \left(2 x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(1 - \frac{1}{\left(4 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(4 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \left(x - 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 x - 4} \right)} + 4\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 x - 4} \right)} + 4\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 4$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*atan(1/(2*x - 4)) + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 x - 4} \right)} + 4}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 x - 4} \right)} + 4}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 x - 4} \right)} + 4 = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- 2 x - 4} \right)} + 4$$
- No
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2 x - 4} \right)} + 4 = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- 2 x - 4} \right)} - 4$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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