Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1-2x-(1/3(x-3)^6)

Gráfico de la función y = 1-2x-(1/3(x-3)^6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        6
                 (x - 3) 
f(x) = 1 - 2*x - --------
                    3
f(x)=(1−2x)−(x−3)63f{\left(x \right)} = \left(1 - 2 x\right) - \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{3} 
f = 1 - 2*x - (x - 3)^6/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20000002000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1−2x)−(x−3)63=0\left(1 - 2 x\right) - \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - 2*x - (x - 3)^6/3.
−(−3)63+(1−0)- \frac{\left(-3\right)^{6}}{3} + \left(1 - 0\right)
Resultado:
f(0)=−242f{\left(0 \right)} = -242
Punto:
(0, -242)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2(x−3)5−2=0- 2 \left(x - 3\right)^{5} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, -10/3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Crece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−10(x−3)4=0- 10 \left(x - 3\right)^{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((1−2x)−(x−3)63)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 - 2 x\right) - \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((1−2x)−(x−3)63)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - 2 x\right) - \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - 2*x - (x - 3)^6/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((1−2x)−(x−3)63x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - 2 x\right) - \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{3}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((1−2x)−(x−3)63x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - 2 x\right) - \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{3}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1−2x)−(x−3)63=2x−(−x−3)63+1\left(1 - 2 x\right) - \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{3} = 2 x - \frac{\left(- x - 3\right)^{6}}{3} + 1
- No
(1−2x)−(x−3)63=−2x+(−x−3)63−1\left(1 - 2 x\right) - \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{3} = - 2 x + \frac{\left(- x - 3\right)^{6}}{3} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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