Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- (cuatro - dos *x)/(uno - dos *x^ dos)
- (4 menos 2 multiplicar por x) dividir por (1 menos 2 multiplicar por x al cuadrado )
- (cuatro menos dos multiplicar por x) dividir por (uno menos dos multiplicar por x en el grado dos)
- (4-2*x)/(1-2*x2)
- 4-2*x/1-2*x2
- (4-2*x)/(1-2*x²)
- (4-2*x)/(1-2*x en el grado 2)
- (4-2x)/(1-2x^2)
- (4-2x)/(1-2x2)
- 4-2x/1-2x2
- 4-2x/1-2x^2
- (4-2*x) dividir por (1-2*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (4+2*x)/(1-2*x^2)
- (4-2*x)/(1+2*x^2)
Gráfico de la función y = (4-2*x)/(1-2*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
4 - 2*x
f(x) = --------
2
1 - 2*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}}$$
f = (4 - 2*x)/(1 - 2*x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x \left(4 - 2 x\right)}{\left(1 - 2 x^{2}\right)^{2}} - \frac{2}{1 - 2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{14}}{2} + 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{14}}{2} + 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 - \frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{\sqrt{14}}{2} + 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{14}}{2} + 2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x \left(4 - 2 x\right)}{\left(1 - 2 x^{2}\right)^{2}} - \frac{2}{1 - 2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{14}}{2} + 2$$
Signos de extremos en los puntos:
____ ____
\/ 14 \/ 14
(2 - ------, -------------------)
2 2
/ ____\
| \/ 14 |
1 - 2*|2 - ------|
\ 2 / ____ ____
\/ 14 -\/ 14
(2 + ------, -------------------)
2 2
/ ____\
| \/ 14 |
1 - 2*|2 + ------|
\ 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{14}}{2} + 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 - \frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{\sqrt{14}}{2} + 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{14}}{2} + 2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{7}{2 \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -7.91288198626746 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -7.91288198626746 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -3.77913111237977 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -3.77913111237977 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{7}{2 \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{7}{2 \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{7}{2 \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -7.91288198626746 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -7.91288198626746 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^-}\left(\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -3.77913111237977 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^+}\left(\frac{8 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -3.77913111237977 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{7}{2 \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{7}{2 \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt{2}}{4} + 7}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4 - 2*x)/(1 - 2*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 2 x}{x \left(1 - 2 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - 2 x}{x \left(1 - 2 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 2 x}{x \left(1 - 2 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - 2 x}{x \left(1 - 2 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}} = \frac{2 x + 4}{1 - 2 x^{2}}$$
- No
$$\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}} = - \frac{2 x + 4}{1 - 2 x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}} = \frac{2 x + 4}{1 - 2 x^{2}}$$
- No
$$\frac{4 - 2 x}{1 - 2 x^{2}} = - \frac{2 x + 4}{1 - 2 x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar