Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log((1+x)/(1-x))-1/x

Gráfico de la función y = log((1+x)/(1-x))-1/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1 + x\   1
f(x) = log|-----| - -
          \1 - x/   x
f(x)=log⁡(x+11−x)−1xf{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)} - \frac{1}{x} 
f = log((x + 1)/(1 - x)) - 1/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+11−x)−1x=0\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)} - \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((1 + x)/(1 - x)) - 1/x.
log⁡(11−0)−10\log{\left(\frac{1}{1 - 0} \right)} - \frac{1}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−x)(11−x+x+1(1−x)2)x+1+1x2=0\frac{\left(1 - x\right) \left(\frac{1}{1 - x} + \frac{x + 1}{\left(1 - x\right)^{2}}\right)}{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1−x+1x−1(x+1)2−1−x+1x−1(x−1)(x+1)−2x3=0- \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−−1+2x_{1} = - \sqrt{-1 + \sqrt{2}}
x2=−1+2x_{2} = \sqrt{-1 + \sqrt{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→0−(−1−x+1x−1(x+1)2−1−x+1x−1(x−1)(x+1)−2x3)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(−1−x+1x−1(x+1)2−1−x+1x−1(x−1)(x+1)−2x3)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{3}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(−1−x+1x−1(x+1)2−1−x+1x−1(x−1)(x+1)−2x3)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(−1−x+1x−1(x+1)2−1−x+1x−1(x−1)(x+1)−2x3)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1+2,∞)\left[\sqrt{-1 + \sqrt{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−−1+2]\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \sqrt{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+11−x)−1x)=iπ\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)} - \frac{1}{x}\right) = i \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=iπy = i \pi
lim⁡x→∞(log⁡(x+11−x)−1x)=iπ\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)} - \frac{1}{x}\right) = i \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=iπy = i \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((1 + x)/(1 - x)) - 1/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+11−x)−1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)} - \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+11−x)−1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)} - \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+11−x)−1x=log⁡(1−xx+1)+1x\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)} - \frac{1}{x} = \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} + \frac{1}{x}
- No
log⁡(x+11−x)−1x=−log⁡(1−xx+1)−1x\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)} - \frac{1}{x} = - \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} - \frac{1}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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