Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
-x^4+5x^2-4
-
x^3/
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres - dos)/(x+ uno)
- (x al cubo menos 2) dividir por (x más 1)
- (x en el grado tres menos dos) dividir por (x más uno)
- (x3-2)/(x+1)
- x3-2/x+1
- (x³-2)/(x+1)
- (x en el grado 3-2)/(x+1)
- x^3-2/x+1
- (x^3-2) dividir por (x+1)
-
Expresiones semejantes
- (x^3-2)/(x-1)
- (x^3+2)/(x+1)
Gráfico de la función y = (x^3-2)/(x+1)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x - 2
f(x) = ------
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 2}{x + 1}$$
f = (x^3 - 2)/(x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - 2}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.25992104989487$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - 2}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.25992104989487$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{x + 1} - \frac{x^{3} - 2}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{x + 1} - \frac{x^{3} - 2}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
3
/ ________________\
| / ___ |
| / 135 27*\/ 6 |
| 3 / --- + -------- |
| 1 3 \/ 8 4 |
-2 + |- - - ----------------------- - ---------------------|
________________ | 2 ________________ 3 |
/ ___ | / ___ |
/ 135 27*\/ 6 | / 135 27*\/ 6 |
3 / --- + -------- | 4*3 / --- + -------- |
1 3 \/ 8 4 \ \/ 8 4 /
(- - - ----------------------- - ---------------------, -------------------------------------------------------------)
2 ________________ 3 ________________
/ ___ / ___
/ 135 27*\/ 6 / 135 27*\/ 6
4*3 / --- + -------- 3 / --- + --------
\/ 8 4 1 3 \/ 8 4
- - ----------------------- - ---------------------
2 ________________ 3
/ ___
/ 135 27*\/ 6
4*3 / --- + --------
\/ 8 4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{x^{3} - 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \sqrt[3]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{x^{3} - 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{x^{3} - 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1 + \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 + \sqrt[3]{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{x^{3} - 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \sqrt[3]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{x^{3} - 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2}}{x + 1} + 3 x + \frac{x^{3} - 2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1 + \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 + \sqrt[3]{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 2}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 2}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 2}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 2}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 2)/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 2}{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 2}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 2}{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 2}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - 2}{x + 1} = \frac{- x^{3} - 2}{1 - x}$$
- No
$$\frac{x^{3} - 2}{x + 1} = - \frac{- x^{3} - 2}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - 2}{x + 1} = \frac{- x^{3} - 2}{1 - x}$$
- No
$$\frac{x^{3} - 2}{x + 1} = - \frac{- x^{3} - 2}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico