Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x)^(x^(-2))

Gráfico de la función y = cos(x)^(x^(-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               1 
               --
                2
               x 
f(x) = (cos(x))
f(x)=cos⁡1x2(x)f{\left(x \right)} = \cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)} 
f = cos(x)^(x^(-2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡1x2(x)=0\cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^(x^(-2)).
cos⁡10(0)\cos^{\frac{1}{0}}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−sin⁡(x)x2cos⁡(x)−2log⁡(cos⁡(x))x3)cos⁡1x2(x)=0\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} \cos{\left(x \right)}} - \frac{2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}\right) \cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−100.530964914873x_{1} = -100.530964914873
x2=−6.28318530717959x_{2} = -6.28318530717959
x3=−25.1327412287183x_{3} = -25.1327412287183
x4=−75.398223686155x_{4} = -75.398223686155
x5=−50.2654824574367x_{5} = -50.2654824574367
x6=81.6814089933346x_{6} = 81.6814089933346
x7=50.2654824574367x_{7} = 50.2654824574367
x8=−43.9822971502571x_{8} = -43.9822971502571
x9=−37.6991118430775x_{9} = -37.6991118430775
x10=25.1327412287183x_{10} = 25.1327412287183
x11=−18.8495559215388x_{11} = -18.8495559215388
x12=−56.5486677646163x_{12} = -56.5486677646163
x13=18.8495559215388x_{13} = 18.8495559215388
x14=−62.8318530717959x_{14} = -62.8318530717959
x15=12.5663706143592x_{15} = 12.5663706143592
x16=56.5486677646163x_{16} = 56.5486677646163
x17=69.1150383789755x_{17} = 69.1150383789755
x18=6.28318530717959x_{18} = 6.28318530717959
x19=37.6991118430775x_{19} = 37.6991118430775
x20=−31.4159265358979x_{20} = -31.4159265358979
x21=100.530964914873x_{21} = 100.530964914873
x22=94.2477796076938x_{22} = 94.2477796076938
x23=−12.5663706143592x_{23} = -12.5663706143592
x24=−94.2477796076938x_{24} = -94.2477796076938
x25=43.9822971502571x_{25} = 43.9822971502571
x26=75.398223686155x_{26} = 75.398223686155
x27=62.8318530717959x_{27} = 62.8318530717959
x28=87.9645943005142x_{28} = 87.9645943005142
x29=−81.6814089933346x_{29} = -81.6814089933346
x30=−87.9645943005142x_{30} = -87.9645943005142
x31=−69.1150383789755x_{31} = -69.1150383789755
x32=31.4159265358979x_{32} = 31.4159265358979
Signos de extremos en los puntos:
(-100.53096491487338, 1)

(-6.283185307179586, 1)

(-25.132741228718345, 1)

(-75.39822368615503, 1)

(-50.26548245743669, 1)

(81.68140899333463, 1)

(50.26548245743669, 1)

(-43.982297150257104, 1)

(-37.69911184307752, 1)

(25.132741228718345, 1)

(-18.84955592153876, 1)

(-56.548667764616276, 1)

(18.84955592153876, 1)

(-62.83185307179586, 1)

(12.566370614359172, 1)

(56.548667764616276, 1)

(69.11503837897546, 1)

(6.283185307179586, 1)

(37.69911184307752, 1)

(-31.41592653589793, 1)

(100.53096491487338, 1)

(94.2477796076938, 1)

(-12.566370614359172, 1)

(-94.2477796076938, 1)

(43.982297150257104, 1)

(75.39822368615503, 1)

(62.83185307179586, 1)

(87.96459430051421, 1)

(-81.68140899333463, 1)

(-87.96459430051421, 1)

(-69.11503837897546, 1)

(31.41592653589793, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x32=−6.28318530717959x_{32} = -6.28318530717959
x32=−25.1327412287183x_{32} = -25.1327412287183
x32=−75.398223686155x_{32} = -75.398223686155
x32=−50.2654824574367x_{32} = -50.2654824574367
x32=81.6814089933346x_{32} = 81.6814089933346
x32=50.2654824574367x_{32} = 50.2654824574367
x32=−43.9822971502571x_{32} = -43.9822971502571
x32=−37.6991118430775x_{32} = -37.6991118430775
x32=25.1327412287183x_{32} = 25.1327412287183
x32=−18.8495559215388x_{32} = -18.8495559215388
x32=−56.5486677646163x_{32} = -56.5486677646163
x32=18.8495559215388x_{32} = 18.8495559215388
x32=−62.8318530717959x_{32} = -62.8318530717959
x32=12.5663706143592x_{32} = 12.5663706143592
x32=56.5486677646163x_{32} = 56.5486677646163
x32=69.1150383789755x_{32} = 69.1150383789755
x32=6.28318530717959x_{32} = 6.28318530717959
x32=37.6991118430775x_{32} = 37.6991118430775
x32=−31.4159265358979x_{32} = -31.4159265358979
x32=94.2477796076938x_{32} = 94.2477796076938
x32=−12.5663706143592x_{32} = -12.5663706143592
x32=−94.2477796076938x_{32} = -94.2477796076938
x32=43.9822971502571x_{32} = 43.9822971502571
x32=75.398223686155x_{32} = 75.398223686155
x32=62.8318530717959x_{32} = 62.8318530717959
x32=87.9645943005142x_{32} = 87.9645943005142
x32=−81.6814089933346x_{32} = -81.6814089933346
x32=−87.9645943005142x_{32} = -87.9645943005142
x32=−69.1150383789755x_{32} = -69.1150383789755
x32=31.4159265358979x_{32} = 31.4159265358979
Decrece en los intervalos
(−∞,−94.2477796076938]\left(-\infty, -94.2477796076938\right]
Crece en los intervalos
[94.2477796076938,∞)\left[94.2477796076938, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡1x2(x)=1\lim_{x \to -\infty} \cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞cos⁡1x2(x)=1\lim_{x \to \infty} \cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^(x^(-2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡1x2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡1x2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡1x2(x)=cos⁡1x2(x)\cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)} = \cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)}
- Sí
cos⁡1x2(x)=−cos⁡1x2(x)\cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)} = - \cos^{\frac{1}{x^{2}}}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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