Sr Examen

Gráfico de la función y = (x-2)(x-4)(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = (x - 2)*(x - 4)*(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$$
f = ((x - 4)*(x - 2))*(x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 2)*(x - 4))*(x + 1).
$$- -8$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 8$$
Punto:
(0, 8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) + \left(x + 1\right) \left(2 x - 6\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
       ____  /        ____\ /        ____\ /      ____\ 
 5   \/ 19   |  7   \/ 19 | |  1   \/ 19 | |8   \/ 19 | 
(- - ------, |- - - ------|*|- - - ------|*|- - ------|)
 3     3     \  3     3   / \  3     3   / \3     3   / 

       ____  /        ____\ /        ____\ /      ____\ 
 5   \/ 19   |  7   \/ 19 | |  1   \/ 19 | |8   \/ 19 | 
(- + ------, |- - + ------|*|- - + ------|*|- + ------|)
 3     3     \  3     3   / \  3     3   / \3     3   / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)*(x - 4))*(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = \left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 2\right)$$
- No
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = - \left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 2\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar