Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- (x- dos)(x- cuatro)(x+ uno)
- (x menos 2)(x menos 4)(x más 1)
- (x menos dos)(x menos cuatro)(x más uno)
- x-2x-4x+1
-
Expresiones semejantes
- (x-2)(x+4)(x+1)
- (x-2)(x-4)(x-1)
- (x+2)(x-4)(x+1)
Gráfico de la función y = (x-2)(x-4)(x+1)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = (x - 2)*(x - 4)*(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$$
f = ((x - 4)*(x - 2))*(x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) + \left(x + 1\right) \left(2 x - 6\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) + \left(x + 1\right) \left(2 x - 6\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
____ / ____\ / ____\ / ____\ 5 \/ 19 | 7 \/ 19 | | 1 \/ 19 | |8 \/ 19 | (- - ------, |- - - ------|*|- - - ------|*|- - ------|) 3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / \3 3 /
____ / ____\ / ____\ / ____\ 5 \/ 19 | 7 \/ 19 | | 1 \/ 19 | |8 \/ 19 | (- + ------, |- - + ------|*|- - + ------|*|- + ------|) 3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / \3 3 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)*(x - 4))*(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = \left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 2\right)$$
- No
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = - \left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 2\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = \left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 2\right)$$
- No
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) = - \left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 2\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar