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2^x+2^(8-x)+1
Trazado el gráfico de la función/ 2^x+2^(8-x)+1

Gráfico de la función y = 2^x+2^(8-x)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x    8 - x    
f(x) = 2  + 2      + 1
f(x)=(2x+28−x)+1f{\left(x \right)} = \left(2^{x} + 2^{8 - x}\right) + 1 
f = 2^x + 2^(8 - x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2x+28−x)+1=0\left(2^{x} + 2^{8 - x}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2^x + 2^(8 - x) + 1.
1+(20+28−0)1 + \left(2^{0} + 2^{8 - 0}\right)
Resultado:
f(0)=258f{\left(0 \right)} = 258
Punto:
(0, 258)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xlog⁡(2)−28−xlog⁡(2)=02^{x} \log{\left(2 \right)} - 2^{8 - x} \log{\left(2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Signos de extremos en los puntos:
(4, 33)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2x+256⋅2−x)log⁡(2)2=0\left(2^{x} + 256 \cdot 2^{- x}\right) \log{\left(2 \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2x+28−x)+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2^{x} + 2^{8 - x}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((2x+28−x)+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(2^{x} + 2^{8 - x}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^x + 2^(8 - x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2x+28−x)+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2^{x} + 2^{8 - x}\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((2x+28−x)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2^{x} + 2^{8 - x}\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2x+28−x)+1=2x+8+1+2−x\left(2^{x} + 2^{8 - x}\right) + 1 = 2^{x + 8} + 1 + 2^{- x}
- No
(2x+28−x)+1=−2x+8−1−2−x\left(2^{x} + 2^{8 - x}\right) + 1 = - 2^{x + 8} - 1 - 2^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2^x+2^(8-x)+1
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