Sr Examen

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(-x-3)/(x-1)^3
Trazado el gráfico de la función/ (-x-3)/(x-1)^3

Gráfico de la función y = (-x-3)/(x-1)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x - 3 
f(x) = --------
              3
       (x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{- x - 3}{\left(x - 1\right)^{3}}$$ 
f = (-x - 3)/(x - 1)^3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- x - 3}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x - 3)/(x - 1)^3.
$$\frac{-3 - 0}{\left(-1\right)^{3}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 \left(- x - 3\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -5$$
Signos de extremos en los puntos:
(-5, -1/108)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -5$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -5\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(1 - \frac{2 \left(x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -7$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{2 \left(x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{2 \left(x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{4}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-7, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -7\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x - 3}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x - 3}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x - 3)/(x - 1)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x - 3}{x \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x - 3}{x \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- x - 3}{\left(x - 1\right)^{3}} = \frac{x - 3}{\left(- x - 1\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{- x - 3}{\left(x - 1\right)^{3}} = - \frac{x - 3}{\left(- x - 1\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-x-3)/(x-1)^3
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