Sr Examen

Otras calculadoras

y=(x^2-4x+4)/(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ y=(x^2-4x+4)/(x-1)

Gráfico de la función y = y=(x^2-4x+4)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 4*x + 4
f(x) = ------------
          x - 1
f(x)=(x2−4x)+4x−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 1} 
f = (x^2 - 4*x + 4)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−4x)+4x−1=0\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
Solución numérica
x1=2.0000004644826x_{1} = 2.0000004644826
x2=2.00000047153142x_{2} = 2.00000047153142
x3=2.00000036994737x_{3} = 2.00000036994737
x4=2.00000046978658x_{4} = 2.00000046978658
x5=2.00000046775901x_{5} = 2.00000046775901
x6=2.00000046461322x_{6} = 2.00000046461322
x7=2.00000047916709x_{7} = 2.00000047916709
x8=2.00000047498704x_{8} = 2.00000047498704
x9=2.00000049481285x_{9} = 2.00000049481285
x10=2.00000042877704x_{10} = 2.00000042877704
x11=2.00000045131131x_{11} = 2.00000045131131
x12=2.00000045434672x_{12} = 2.00000045434672
x13=2.0000004540357x_{13} = 2.0000004540357
x14=2.00000047088992x_{14} = 2.00000047088992
x15=2.00000044890513x_{15} = 2.00000044890513
x16=2.00000046435799x_{16} = 2.00000046435799
x17=2.00000045279651x_{17} = 2.00000045279651
x18=2.00000050140513x_{18} = 2.00000050140513
x19=2.00000100705804x_{19} = 2.00000100705804
x20=2.00000048999717x_{20} = 2.00000048999717
x21=2.00000046412524x_{21} = 2.00000046412524
x22=2.00000044973248x_{22} = 2.00000044973248
x23=2.00000044216563x_{23} = 2.00000044216563
x24=2.00000043510409x_{24} = 2.00000043510409
x25=2.00000045074848x_{25} = 2.00000045074848
x26=2.00000047304881x_{26} = 2.00000047304881
x27=2.00000045341512x_{27} = 2.00000045341512
x28=2.00000046714773x_{28} = 2.00000046714773
x29=2.00000041791077x_{29} = 2.00000041791077
x30=2.00000045243353x_{30} = 2.00000045243353
x31=2.00000045223582x_{31} = 2.00000045223582
x32=2.00000046381216x_{32} = 2.00000046381216
x33=2.00000045202598x_{33} = 2.00000045202598
x34=2.00000046930873x_{34} = 2.00000046930873
x35=2.00000045368084x_{35} = 2.00000045368084
x36=2.00000045009763x_{36} = 2.00000045009763
x37=2.00000045355118x_{37} = 2.00000045355118
x38=2.00000046391212x_{38} = 2.00000046391212
x39=2.00000045414382x_{39} = 2.00000045414382
x40=2.00000044843395x_{40} = 2.00000044843395
x41=2.0000004542474x_{41} = 2.0000004542474
x42=2.00000046593959x_{42} = 2.00000046593959
x43=2.00000045312185x_{43} = 2.00000045312185
x44=2.00000048632517x_{44} = 2.00000048632517
x45=2.00000044734716x_{45} = 2.00000044734716
x46=2.00000040891481x_{46} = 2.00000040891481
x47=2.00000031321749x_{47} = 2.00000031321749
x48=2.00000046574007x_{48} = 2.00000046574007
x49=2.00000039488476x_{49} = 2.00000039488476
x50=2.00000062061962x_{50} = 2.00000062061962
x51=2.00000046489434x_{51} = 2.00000046489434
x52=2.00000044671601x_{52} = 2.00000044671601
x53=2.00000043230946x_{53} = 2.00000043230946
x54=2.00000046555183x_{54} = 2.00000046555183
x55=2.00000043924486x_{55} = 2.00000043924486
x56=2.00000046537392x_{56} = 2.00000046537392
x57=2.00000047617277x_{57} = 2.00000047617277
x58=2.00000045156512x_{58} = 2.00000045156512
x59=2.00000045262012x_{59} = 2.00000045262012
x60=2.00000048109522x_{60} = 2.00000048109522
x61=2.00000044082137x_{61} = 2.00000044082137
x62=2.00000045180284x_{62} = 2.00000045180284
x63=2.00000045296351x_{63} = 2.00000045296351
x64=2.00000044332544x_{64} = 2.00000044332544
x65=2.000000464239x_{65} = 2.000000464239
x66=2.00000047754941x_{66} = 2.00000047754941
x67=2.0000004647503x_{67} = 2.0000004647503
x68=2.00000043737024x_{68} = 2.00000043737024
x69=2.00000047224656x_{69} = 2.00000047224656
x70=2.00000055386291x_{70} = 2.00000055386291
x71=2.00000042417021x_{71} = 2.00000042417021
x72=2.00000044933635x_{72} = 2.00000044933635
x73=2.00000046661682x_{73} = 2.00000046661682
x74=2.00000044791696x_{74} = 2.00000044791696
x75=2.00000046401639x_{75} = 2.00000046401639
x76=2.00000045392272x_{76} = 2.00000045392272
x77=2.00000048343265x_{77} = 2.00000048343265
x78=2.0000004661514x_{78} = 2.0000004661514
x79=2.00000044601304x_{79} = 2.00000044601304
x80=2.00000047395508x_{80} = 2.00000047395508
x81=2.00000051097964x_{81} = 2.00000051097964
x82=2.00000046810072x_{82} = 2.00000046810072
x83=2.00000045444203x_{83} = 2.00000045444203
x84=2.00000046847041x_{84} = 2.00000046847041
x85=2x_{85} = 2
x86=2.00000052615216x_{86} = 2.00000052615216
x87=2.00000046520552x_{87} = 2.00000046520552
x88=2.00000046371625x_{88} = 2.00000046371625
x89=2.00000044522527x_{89} = 2.00000044522527
x90=2.00000046362414x_{90} = 2.00000046362414
x91=2.00000045327219x_{91} = 2.00000045327219
x92=2.00000047031124x_{92} = 2.00000047031124
x93=2.00000044433634x_{93} = 2.00000044433634
x94=2.00000045103974x_{94} = 2.00000045103974
x95=2.00000046744222x_{95} = 2.00000046744222
x96=2.0000004663767x_{96} = 2.0000004663767
x97=2.00000045380456x_{97} = 2.00000045380456
x98=2.00000046504588x_{98} = 2.00000046504588
x99=2.00000046887168x_{99} = 2.00000046887168
x100=2.0000004504353x_{100} = 2.0000004504353
x101=2.00000046687325x_{101} = 2.00000046687325
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 4*x + 4)/(x - 1).
(02−0)+4−1\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 4}{-1}
Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−4x−1−(x2−4x)+4(x−1)2=0\frac{2 x - 4}{x - 1} - \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(0, -4)

(2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2]\left[0, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(x−2)x−1+1+x2−4x+4(x−1)2)x−1=0\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 1 + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−4x)+4x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−4x)+4x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 4*x + 4)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−4x)+4x(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x2−4x)+4x(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−4x)+4x−1=x2+4x+4−x−1\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 1} = \frac{x^{2} + 4 x + 4}{- x - 1}
- No
(x2−4x)+4x−1=−x2+4x+4−x−1\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 1} = - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x^2-4x+4)/(x-1)
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