Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x*(sqrt(3+x^2)-x)

Gráfico de la función y = x*(sqrt(3+x^2)-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         /   ________    \
         |  /      2     |
f(x) = x*\\/  3 + x   - x/
f(x)=x(−x+x2+3)f{\left(x \right)} = x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 3}\right) 
f = x*(-x + sqrt(x^2 + 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-400200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(−x+x2+3)=0x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 3}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(sqrt(3 + x^2) - x).
0(−0+02+3)0 \left(- 0 + \sqrt{0^{2} + 3}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(xx2+3−1)−x+x2+3=0x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}} - 1\right) - x + \sqrt{x^{2} + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x(x2x2+3−1)x2+3+2xx2+3−2=0- \frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 3} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 3}} + \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 3}} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(−x+x2+3))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 3}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(−x+x2+3))=32\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 3}\right)\right) = \frac{3}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=32y = \frac{3}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(sqrt(3 + x^2) - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+x2+3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+x2+3)=0\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 3}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(−x+x2+3)=−x(x+x2+3)x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 3}\right) = - x \left(x + \sqrt{x^{2} + 3}\right)
- No
x(−x+x2+3)=x(x+x2+3)x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 3}\right) = x \left(x + \sqrt{x^{2} + 3}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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