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x^3+4x^2-3x+4
Trazado el gráfico de la función/ x^3+4x^2-3x+4

Gráfico de la función y = x^3+4x^2-3x+4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
f(x) = x  + 4*x  - 3*x + 4
f(x)=(−3x+(x3+4x2))+4f{\left(x \right)} = \left(- 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) + 4 
f = -3*x + x^3 + 4*x^2 + 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3x+(x3+4x2))+4=0\left(- 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) + 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−31551+17233−43−25331551+1723x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{1551} + 172}}{3} - \frac{4}{3} - \frac{25}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{1551} + 172}}
Solución numérica
x1=−4.79884509848652x_{1} = -4.79884509848652
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 + 4*x^2 - 3*x + 4.
((03+4⋅02)−0)+4\left(\left(0^{3} + 4 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 4
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+8x−3=03 x^{2} + 8 x - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=13x_{2} = \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 22)

      94 
(1/3, --)
      27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[13,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,13]\left[-3, \frac{1}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+4)=02 \left(3 x + 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43x_{1} = - \frac{4}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−43,∞)\left[- \frac{4}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−43]\left(-\infty, - \frac{4}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+(x3+4x2))+4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) + 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+(x3+4x2))+4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) + 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 4*x^2 - 3*x + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+(x3+4x2))+4x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+(x3+4x2))+4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) + 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3x+(x3+4x2))+4=−x3+4x2+3x+4\left(- 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) + 4 = - x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 4
- No
(−3x+(x3+4x2))+4=x3−4x2−3x−4\left(- 3 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) + 4 = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3+4x^2-3x+4
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