Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
1/((x-1)^2)
-
(-1-exp(-2*x))*exp(-x)
-
2*x^4-x^2+1
-
Expresiones idénticas
- x^ tres /(x^ dos + dos *x- tres)
- x al cubo dividir por (x al cuadrado más 2 multiplicar por x menos 3)
- x en el grado tres dividir por (x en el grado dos más dos multiplicar por x menos tres)
- x3/(x2+2*x-3)
- x3/x2+2*x-3
- x³/(x²+2*x-3)
- x en el grado 3/(x en el grado 2+2*x-3)
- x^3/(x^2+2x-3)
- x3/(x2+2x-3)
- x3/x2+2x-3
- x^3/x^2+2x-3
- x^3 dividir por (x^2+2*x-3)
-
Expresiones semejantes
- x^3/(x^2+2*x+3)
- x^3/(x^2-2*x-3)
Gráfico de la función y = x^3/(x^2+2*x-3)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x
f(x) = ------------
2
x + 2*x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}$$
f = x^3/(x^2 + 2*x - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.000130036106556501$$
$$x_{2} = 0.000152485046879917$$
$$x_{3} = 0.000155886016287383$$
$$x_{4} = 0.000142586814131008$$
$$x_{5} = 8.50663756963731 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 0.00015067541638728$$
$$x_{7} = -4.15744995098139 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 0.000132809990336972$$
$$x_{9} = 0.000113541436711707$$
$$x_{10} = 0.000127107572739234$$
$$x_{11} = 7.21749126080029 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = -2.00219103152596 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -6.8408038284185 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -0.000103345827117637$$
$$x_{16} = 0.000120729388543266$$
$$x_{17} = 0.000146812860291052$$
$$x_{18} = -0.00015209219398982$$
$$x_{19} = 7.89021580486419 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 9.59830997114061 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 6.47958682751967 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 0.000148786507350403$$
$$x_{23} = 0.000140320584818082$$
$$x_{24} = 9.07400516735499 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 1.29829224269943 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = 0.000124010541324626$$
$$x_{27} = 0.000137941789148875$$
$$x_{28} = 0.000109591392629952$$
$$x_{29} = 0.000117246408096156$$
$$x_{30} = 3.74902800979701 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = 2.60528487052152 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = 0.000154220389487891$$
$$x_{33} = 0.000135441547940908$$
$$x_{34} = 0.000107558248290325$$
$$x_{35} = 0.000105369701620836$$
$$x_{36} = 0.000144748489084093$$
$$x_{37} = 5.66547857939522 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 4.76125485575342 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = 0.000100845576072002$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.000130036106556501$$
$$x_{2} = 0.000152485046879917$$
$$x_{3} = 0.000155886016287383$$
$$x_{4} = 0.000142586814131008$$
$$x_{5} = 8.50663756963731 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 0.00015067541638728$$
$$x_{7} = -4.15744995098139 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 0.000132809990336972$$
$$x_{9} = 0.000113541436711707$$
$$x_{10} = 0.000127107572739234$$
$$x_{11} = 7.21749126080029 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = -2.00219103152596 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -6.8408038284185 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -0.000103345827117637$$
$$x_{16} = 0.000120729388543266$$
$$x_{17} = 0.000146812860291052$$
$$x_{18} = -0.00015209219398982$$
$$x_{19} = 7.89021580486419 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 9.59830997114061 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 6.47958682751967 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 0.000148786507350403$$
$$x_{23} = 0.000140320584818082$$
$$x_{24} = 9.07400516735499 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 1.29829224269943 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = 0.000124010541324626$$
$$x_{27} = 0.000137941789148875$$
$$x_{28} = 0.000109591392629952$$
$$x_{29} = 0.000117246408096156$$
$$x_{30} = 3.74902800979701 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = 2.60528487052152 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = 0.000154220389487891$$
$$x_{33} = 0.000135441547940908$$
$$x_{34} = 0.000107558248290325$$
$$x_{35} = 0.000105369701620836$$
$$x_{36} = 0.000144748489084093$$
$$x_{37} = 5.66547857939522 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 4.76125485575342 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = 0.000100845576072002$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(- 2 x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{13}$$
$$x_{3} = - \sqrt{13} - 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \sqrt{13}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{13} - 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{13} - 2\right] \cup \left[-2 + \sqrt{13}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{13} - 2, -2 + \sqrt{13}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(- 2 x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{13}$$
$$x_{3} = - \sqrt{13} - 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3
/ ____\
____ \-2 + \/ 13 /
(-2 + \/ 13, ------------------------------)
2
/ ____\ ____
-7 + \-2 + \/ 13 / + 2*\/ 13 3
/ ____\
____ \-2 - \/ 13 /
(-2 - \/ 13, ------------------------------)
2
/ ____\ ____
-7 + \-2 - \/ 13 / - 2*\/ 13 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \sqrt{13}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{13} - 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{13} - 2\right] \cup \left[-2 + \sqrt{13}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{13} - 2, -2 + \sqrt{13}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{6 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} + 3\right)}{x^{2} + 2 x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 + 2*x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x - 3}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x - 3}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 3} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico