Sr Examen

Gráfico de la función y = |3cos(x/3)|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       |     /x\|
f(x) = |3*cos|-||
       |     \3/|
f(x)=3cos(x3)f{\left(x \right)} = \left|{3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right|
f = Abs(3*cos(x/3))
Gráfico de la función
05-15-10-5101505
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos(x3)=0\left|{3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
x2=9π2x_{2} = \frac{9 \pi}{2}
Solución numérica
x1=80.1106126665397x_{1} = 80.1106126665397
x2=23.5619449019235x_{2} = -23.5619449019235
x3=61.261056745001x_{3} = 61.261056745001
x4=4.71238898038469x_{4} = -4.71238898038469
x5=98.9601685880785x_{5} = -98.9601685880785
x6=42.4115008234622x_{6} = 42.4115008234622
x7=32.9867228626928x_{7} = -32.9867228626928
x8=14.1371669411541x_{8} = 14.1371669411541
x9=4.71238898038469x_{9} = 4.71238898038469
x10=32.9867228626928x_{10} = 32.9867228626928
x11=70.6858347057703x_{11} = 70.6858347057703
x12=70.6858347057703x_{12} = -70.6858347057703
x13=23.5619449019235x_{13} = 23.5619449019235
x14=89.5353906273091x_{14} = -89.5353906273091
x15=42.4115008234622x_{15} = -42.4115008234622
x16=617.322956430394x_{16} = 617.322956430394
x17=89.5353906273091x_{17} = 89.5353906273091
x18=51.8362787842316x_{18} = -51.8362787842316
x19=3048.91567030889x_{19} = -3048.91567030889
x20=80.1106126665397x_{20} = -80.1106126665397
x21=51.8362787842316x_{21} = 51.8362787842316
x22=2756.74755352504x_{22} = -2756.74755352504
x23=98.9601685880785x_{23} = 98.9601685880785
x24=14.1371669411541x_{24} = -14.1371669411541
x25=61.261056745001x_{25} = -61.261056745001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(3*cos(x/3)).
3cos(03)\left|{3 \cos{\left(\frac{0}{3} \right)}}\right|
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin(x3)sign(cos(x3))=0- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=65.9734457253857x_{1} = 65.9734457253857
x2=160.221225333079x_{2} = -160.221225333079
x3=103.672557568463x_{3} = -103.672557568463
x4=452.38934211693x_{4} = 452.38934211693
x5=84.8230016469244x_{5} = 84.8230016469244
x6=13835.5740464094x_{6} = -13835.5740464094
x7=18.8495559215388x_{7} = 18.8495559215388
x8=65.9734457253857x_{8} = -65.9734457253857
x9=94.2477796076938x_{9} = 94.2477796076938
x10=9.42477796076938x_{10} = 9.42477796076938
x11=0x_{11} = 0
x12=28.2743338823081x_{12} = -28.2743338823081
x13=56.5486677646163x_{13} = -56.5486677646163
x14=1291.19458062541x_{14} = -1291.19458062541
x15=18.8495559215388x_{15} = -18.8495559215388
x16=1753.0087007031x_{16} = -1753.0087007031
x17=56.5486677646163x_{17} = 56.5486677646163
x18=829.380460547705x_{18} = 829.380460547705
x19=47.1238898038469x_{19} = -47.1238898038469
x20=75.398223686155x_{20} = -75.398223686155
x21=9.42477796076938x_{21} = -9.42477796076938
x22=103.672557568463x_{22} = 103.672557568463
x23=37.6991118430775x_{23} = 37.6991118430775
x24=78338.7544099151x_{24} = -78338.7544099151
x25=37.6991118430775x_{25} = -37.6991118430775
x26=47.1238898038469x_{26} = 47.1238898038469
x27=28.2743338823081x_{27} = 28.2743338823081
x28=94.2477796076938x_{28} = -94.2477796076938
x29=75.398223686155x_{29} = 75.398223686155
x30=84.8230016469244x_{30} = -84.8230016469244
Signos de extremos en los puntos:
(65.97344572538566, 3)

(-160.22122533307945, 3)

(-103.67255756846318, 3)

(452.3893421169302, 3)

(84.82300164692441, 3)

(-13835.574046409449, 3)

(18.84955592153876, 3)

(-65.97344572538566, 3)

(94.2477796076938, 3)

(9.42477796076938, 3)

(0, 3)

(-28.274333882308138, 3)

(-56.548667764616276, 3)

(-1291.194580625405, 3)

(-18.84955592153876, 3)

(-1753.0087007031045, 3)

(56.548667764616276, 3)

(829.3804605477054, 3)

(-47.1238898038469, 3)

(-75.39822368615503, 3)

(-9.42477796076938, 3)

(103.67255756846318, 3)

(37.69911184307752, 3)

(-78338.75440991508, 3)

(-37.69911184307752, 3)

(47.1238898038469, 3)

(28.274333882308138, 3)

(-94.2477796076938, 3)

(75.39822368615503, 3)

(-84.82300164692441, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x30=65.9734457253857x_{30} = 65.9734457253857
x30=160.221225333079x_{30} = -160.221225333079
x30=103.672557568463x_{30} = -103.672557568463
x30=452.38934211693x_{30} = 452.38934211693
x30=84.8230016469244x_{30} = 84.8230016469244
x30=13835.5740464094x_{30} = -13835.5740464094
x30=18.8495559215388x_{30} = 18.8495559215388
x30=65.9734457253857x_{30} = -65.9734457253857
x30=94.2477796076938x_{30} = 94.2477796076938
x30=9.42477796076938x_{30} = 9.42477796076938
x30=0x_{30} = 0
x30=28.2743338823081x_{30} = -28.2743338823081
x30=56.5486677646163x_{30} = -56.5486677646163
x30=1291.19458062541x_{30} = -1291.19458062541
x30=18.8495559215388x_{30} = -18.8495559215388
x30=1753.0087007031x_{30} = -1753.0087007031
x30=56.5486677646163x_{30} = 56.5486677646163
x30=829.380460547705x_{30} = 829.380460547705
x30=47.1238898038469x_{30} = -47.1238898038469
x30=75.398223686155x_{30} = -75.398223686155
x30=9.42477796076938x_{30} = -9.42477796076938
x30=103.672557568463x_{30} = 103.672557568463
x30=37.6991118430775x_{30} = 37.6991118430775
x30=78338.7544099151x_{30} = -78338.7544099151
x30=37.6991118430775x_{30} = -37.6991118430775
x30=47.1238898038469x_{30} = 47.1238898038469
x30=28.2743338823081x_{30} = 28.2743338823081
x30=94.2477796076938x_{30} = -94.2477796076938
x30=75.398223686155x_{30} = 75.398223686155
x30=84.8230016469244x_{30} = -84.8230016469244
Decrece en los intervalos
(,78338.7544099151]\left(-\infty, -78338.7544099151\right]
Crece en los intervalos
[829.380460547705,)\left[829.380460547705, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin2(x3)δ(cos(x3))cos(x3)sign(cos(x3))3=0\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \delta\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx3cos(x3)=31,1\lim_{x \to -\infty} \left|{3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right| = 3 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=31,1y = 3 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
limx3cos(x3)=31,1\lim_{x \to \infty} \left|{3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right| = 3 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=31,1y = 3 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(3*cos(x/3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(3cos(x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(3cos(x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3cos(x3)=3cos(x3)\left|{3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right| = 3 \left|{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right|
- No
3cos(x3)=3cos(x3)\left|{3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right| = - 3 \left|{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar