Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \left(\left(- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)\right) e^{x} + 1\right) e^{- x} + \left(\left(- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)\right) e^{x} + \left(2 x - 2\right) e^{x}\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = W\left(\frac{1}{2 e}\right) + 1$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / -1\\ / -1\
| / 2 \ |e || |e |
/ -1\ | |/ / -1\\ / -1\| 1 + W|---|| -1 - W|---|
|e | | || |e || |e || \ 2 /| \ 2 /
(1 + W|---|, |1 + ||1 + W|---|| - 2*W|---||*e |*e )
\ 2 / \ \\ \ 2 // \ 2 // /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = W\left(\frac{1}{2 e}\right) + 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[W\left(\frac{1}{2 e}\right) + 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, W\left(\frac{1}{2 e}\right) + 1\right]$$