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x^3-5x^2+x

Gráfico de la función y = x^3-5x^2+x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        3      2    
f(x) = x  - 5*x  + x
f(x)=x+(x35x2)f{\left(x \right)} = x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right)
f = x + x^3 - 5*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+(x35x2)=0x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=52212x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}
x3=212+52x_{3} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}
Solución numérica
x1=4.79128784747792x_{1} = 4.79128784747792
x2=0x_{2} = 0
x3=0.20871215252208x_{3} = 0.20871215252208
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 5*x^2 + x.
035020^{3} - 5 \cdot 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x210x+1=03 x^{2} - 10 x + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=53223x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}
x2=223+53x_{2} = \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                             3                 2          
       ____      /      ____\      /      ____\      ____ 
 5   \/ 22   5   |5   \/ 22 |      |5   \/ 22 |    \/ 22  
(- - ------, - + |- - ------|  - 5*|- - ------|  - ------)
 3     3     3   \3     3   /      \3     3   /      3    

                             3                 2          
       ____      /      ____\      /      ____\      ____ 
 5   \/ 22   5   |5   \/ 22 |      |5   \/ 22 |    \/ 22  
(- + ------, - + |- + ------|  - 5*|- + ------|  + ------)
 3     3     3   \3     3   /      \3     3   /      3    


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=223+53x_{1} = \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=53223x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}
Decrece en los intervalos
(,53223][223+53,)\left(-\infty, \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[53223,223+53]\left[\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}, \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x5)=02 \left(3 x - 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=53x_{1} = \frac{5}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[53,)\left[\frac{5}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,53]\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(x+(x35x2))=\lim_{x \to -\infty}\left(x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx(x+(x35x2))=\lim_{x \to \infty}\left(x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 5*x^2 + x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(x+(x35x2)x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx(x+(x35x2)x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+(x35x2)=x35x2xx + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right) = - x^{3} - 5 x^{2} - x
- No
x+(x35x2)=x3+5x2+xx + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right) = x^{3} + 5 x^{2} + x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3-5x^2+x