Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$3 x^{2} - 10 x + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
5 \/ 22 5 |5 \/ 22 | |5 \/ 22 | \/ 22
(- - ------, - + |- - ------| - 5*|- - ------| - ------)
3 3 3 \3 3 / \3 3 / 3
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
5 \/ 22 5 |5 \/ 22 | |5 \/ 22 | \/ 22
(- + ------, - + |- + ------| - 5*|- + ------| + ------)
3 3 3 \3 3 / \3 3 / 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}, \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}\right]$$