Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (tres *x+ dos)/(x^ dos + dos)
- (3 multiplicar por x más 2) dividir por (x al cuadrado más 2)
- (tres multiplicar por x más dos) dividir por (x en el grado dos más dos)
- (3*x+2)/(x2+2)
- 3*x+2/x2+2
- (3*x+2)/(x²+2)
- (3*x+2)/(x en el grado 2+2)
- (3x+2)/(x^2+2)
- (3x+2)/(x2+2)
- 3x+2/x2+2
- 3x+2/x^2+2
- (3*x+2) dividir por (x^2+2)
-
Expresiones semejantes
- (3*x+2)/(x^2-2)
- (3*x-2)/(x^2+2)
Gráfico de la función y = (3*x+2)/(x^2+2)
Solución
Ha introducido
[src]
3*x + 2
f(x) = -------
2
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2}$$
f = (3*x + 2)/(x^2 + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(3 x + 2\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{3}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{22}}{3} - \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{22}}{3} - \frac{2}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{22}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{22}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(3 x + 2\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{3}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{22}}{3} - \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
____ ____
2 \/ 22 \/ 22
(- - + ------, -------------------)
3 3 2
/ ____\
| 2 \/ 22 |
2 + |- - + ------|
\ 3 3 / ____ ____
2 \/ 22 -\/ 22
(- - - ------, -------------------)
3 3 2
/ ____\
| 2 \/ 22 |
2 + |- - - ------|
\ 3 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{22}}{3} - \frac{2}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{22}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{22}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 6 x + \left(3 x + 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{44 + 66 \sqrt{2} i}}{3} - \frac{22}{3 \sqrt[3]{44 + 66 \sqrt{2} i}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{22} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{22} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{2}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 6 x + \left(3 x + 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{44 + 66 \sqrt{2} i}}{3} - \frac{22}{3 \sqrt[3]{44 + 66 \sqrt{2} i}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{22} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{22} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{2}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x + 2)/(x^2 + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 2}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 2}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2} = \frac{2 - 3 x}{x^{2} + 2}$$
- No
$$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2} = - \frac{2 - 3 x}{x^{2} + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2} = \frac{2 - 3 x}{x^{2} + 2}$$
- No
$$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2} = - \frac{2 - 3 x}{x^{2} + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar