Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{4 x^{3} \left(2 - x^{2}\right)}{\left(x^{4} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{5}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
___________ ___
/ ___ -\/ 5
(-\/ 2 + \/ 5 , ----------------)
2
/ ___\
1 + \2 + \/ 5 /
___________ ___
/ ___ -\/ 5
(\/ 2 + \/ 5 , ----------------)
2
/ ___\
1 + \2 + \/ 5 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{5}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2 + \sqrt{5}}, 0\right] \cup \left[\sqrt{2 + \sqrt{5}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[0, \sqrt{2 + \sqrt{5}}\right]$$