Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
f(x)=4x^2-x^4
- g(x)=(x^2+3)(x^2-4x)
-
4x^3-2x^2
-
x^3-5x+1
- Integral de d{x}:
- g(x)
-
Expresiones idénticas
- g(x)=(x^ dos + tres)(x^ dos -4x)
- g(x) es igual a (x al cuadrado más 3)(x al cuadrado menos 4x)
- g(x) es igual a (x en el grado dos más tres)(x en el grado dos menos 4x)
- g(x)=(x2+3)(x2-4x)
- gx=x2+3x2-4x
- g(x)=(x²+3)(x²-4x)
- g(x)=(x en el grado 2+3)(x en el grado 2-4x)
- gx=x^2+3x^2-4x
-
Expresiones semejantes
- log(x^2-4)
- y=log(x-1)
- log(x^2-3x+2)
- g(x)=(x^2+3)(x^2+4x)
- g(x)=(x^2-3)(x^2-4x)
Gráfico de la función y = g(x)=(x^2+3)(x^2-4x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \ / 2 \ f(x) = \x + 3/*\x - 4*x/
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)$$
f = (x^2 + 3)*(x^2 - 4*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x \left(x^{2} - 4 x\right) + \left(2 x - 4\right) \left(x^{2} + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x \left(x^{2} - 4 x\right) + \left(2 x - 4\right) \left(x^{2} + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\ / 2 \
____________ | / ____________ \ | | / ____________ \ ____________ |
/ ____ | | / ____ | | | | / ____ | / ____ |
/ 7 \/ 47 1 | | / 7 \/ 47 1 | | | | / 7 \/ 47 1 | / 7 \/ 47 2 |
(1 + 3 / - + ------ + -------------------, |3 + |1 + 3 / - + ------ + -------------------| |*|-4 + |1 + 3 / - + ------ + -------------------| - 4*3 / - + ------ - -----------------|)
\/ 4 4 ____________ | | \/ 4 4 ____________| | | | \/ 4 4 ____________| \/ 4 4 ____________|
/ ____ | | / ____ | | | | / ____ | / ____ |
/ 7 \/ 47 | | / 7 \/ 47 | | | | / 7 \/ 47 | / 7 \/ 47 |
2*3 / - + ------ | | 2*3 / - + ------ | | | | 2*3 / - + ------ | 3 / - + ------ |
\/ 4 4 \ \ \/ 4 4 / / \ \ \/ 4 4 / \/ 4 4 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 2\right) - 4 x + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 2\right) - 4 x + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 3)*(x^2 - 4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = \left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} + 4 x\right)$$
- No
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = - \left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} + 4 x\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = \left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} + 4 x\right)$$
- No
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = - \left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} + 4 x\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar