Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 x \left(x^{2} - 4 x\right) + \left(2 x - 4\right) \left(x^{2} + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\ / 2 \
____________ | / ____________ \ | | / ____________ \ ____________ |
/ ____ | | / ____ | | | | / ____ | / ____ |
/ 7 \/ 47 1 | | / 7 \/ 47 1 | | | | / 7 \/ 47 1 | / 7 \/ 47 2 |
(1 + 3 / - + ------ + -------------------, |3 + |1 + 3 / - + ------ + -------------------| |*|-4 + |1 + 3 / - + ------ + -------------------| - 4*3 / - + ------ - -----------------|)
\/ 4 4 ____________ | | \/ 4 4 ____________| | | | \/ 4 4 ____________| \/ 4 4 ____________|
/ ____ | | / ____ | | | | / ____ | / ____ |
/ 7 \/ 47 | | / 7 \/ 47 | | | | / 7 \/ 47 | / 7 \/ 47 |
2*3 / - + ------ | | 2*3 / - + ------ | | | | 2*3 / - + ------ | 3 / - + ------ |
\/ 4 4 \ \ \/ 4 4 / / \ \ \/ 4 4 / \/ 4 4 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}\right]$$