Sr Examen

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Gráfico de la función y = g(x)=(x^2+3)(x^2-4x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       / 2    \ / 2      \
f(x) = \x  + 3/*\x  - 4*x/
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)$$
f = (x^2 + 3)*(x^2 - 4*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 3)*(x^2 - 4*x).
$$\left(0^{2} + 3\right) \left(0^{2} - 0\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x \left(x^{2} - 4 x\right) + \left(2 x - 4\right) \left(x^{2} + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                              /                                                 2\ /                                                  2                                          \ 
          ____________                        |    /         ____________                      \ | |     /         ____________                      \           ____________                    | 
         /       ____                         |    |        /       ____                       | | |     |        /       ____                       |          /       ____                     | 
        /  7   \/ 47              1           |    |       /  7   \/ 47              1         | | |     |       /  7   \/ 47              1         |         /  7   \/ 47             2        | 
(1 + 3 /   - + ------  + -------------------, |3 + |1 + 3 /   - + ------  + -------------------| |*|-4 + |1 + 3 /   - + ------  + -------------------|  - 4*3 /   - + ------  - -----------------|)
     \/    4     4              ____________  |    |    \/    4     4              ____________| | |     |    \/    4     4              ____________|      \/    4     4            ____________| 
                               /       ____   |    |                              /       ____ | | |     |                              /       ____ |                              /       ____ | 
                              /  7   \/ 47    |    |                             /  7   \/ 47  | | |     |                             /  7   \/ 47  |                             /  7   \/ 47  | 
                         2*3 /   - + ------   |    |                        2*3 /   - + ------ | | |     |                        2*3 /   - + ------ |                          3 /   - + ------ | 
                           \/    4     4      \    \                          \/    4     4    / / \     \                          \/    4     4    /                          \/    4     4    / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{47}}{4} + \frac{7}{4}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 2\right) - 4 x + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 3)*(x^2 - 4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = \left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} + 4 x\right)$$
- No
$$\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} - 4 x\right) = - \left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} + 4 x\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar