Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- y=(dos x- cinco)/(x^2- uno)
- y es igual a (2x menos 5) dividir por (x al cuadrado menos 1)
- y es igual a (dos x menos cinco) dividir por (x al cuadrado menos uno)
- y=(2x-5)/(x2-1)
- y=2x-5/x2-1
- y=(2x-5)/(x²-1)
- y=(2x-5)/(x en el grado 2-1)
- y=2x-5/x^2-1
- y=(2x-5) dividir por (x^2-1)
-
Expresiones semejantes
- y=(2x-5)/(x^2+1)
- y=(2x+5)/(x^2-1)
Gráfico de la función y = y=(2x-5)/(x^2-1)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x - 5
f(x) = -------
2
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x - 5}{x^{2} - 1}$$
f = (2*x - 5)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(2 x - 5\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(2 x - 5\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
____ ____
5 \/ 21 -\/ 21
(- - ------, ------------------)
2 2 2
/ ____\
|5 \/ 21 |
-1 + |- - ------|
\2 2 / ____ ____
5 \/ 21 \/ 21
(- + ------, ------------------)
2 2 2
/ ____\
|5 \/ 21 |
-1 + |- + ------|
\2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{63}}{2} + \frac{5}{2} + \frac{\sqrt[3]{147}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[3]{63}}{2} + \frac{5}{2} + \frac{\sqrt[3]{147}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{63}}{2} + \frac{5}{2} + \frac{\sqrt[3]{147}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{63}}{2} + \frac{5}{2} + \frac{\sqrt[3]{147}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[3]{63}}{2} + \frac{5}{2} + \frac{\sqrt[3]{147}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{63}}{2} + \frac{5}{2} + \frac{\sqrt[3]{147}}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x - 5)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 5}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 5}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 5}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 5}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1} = \frac{- 2 x - 5}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1} = - \frac{- 2 x - 5}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1} = \frac{- 2 x - 5}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{2 x - 5}{x^{2} - 1} = - \frac{- 2 x - 5}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico