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Trazado el gráfico de la función/ ln(x)^x

Gráfico de la función y = ln(x)^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x   
f(x) = log (x)
f(x)=log⁡(x)xf{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{x} 
f = log(x)^x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)x=0\log{\left(x \right)}^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)^x.
log⁡(0)0\log{\left(0 \right)}^{0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(log⁡(log⁡(x))+1log⁡(x))log⁡(x)x=0\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((log⁡(log⁡(x))+1log⁡(x))2+1−1log⁡(x)xlog⁡(x))log⁡(x)x=0\left(\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right)^{2} + \frac{1 - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.49295169226974x_{1} = 1.49295169226974

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1.49295169226974,∞)\left[1.49295169226974, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1.49295169226974]\left(-\infty, 1.49295169226974\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x)x=0\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x \right)}^{x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞log⁡(x)x=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)}^{x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)x=log⁡(−x)−x\log{\left(x \right)}^{x} = \log{\left(- x \right)}^{- x}
- No
log⁡(x)x=−log⁡(−x)−x\log{\left(x \right)}^{x} = - \log{\left(- x \right)}^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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