Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- (dos -x^ dos)/(dos +x^ dos)
- (2 menos x al cuadrado ) dividir por (2 más x al cuadrado )
- (dos menos x en el grado dos) dividir por (dos más x en el grado dos)
- (2-x2)/(2+x2)
- 2-x2/2+x2
- (2-x²)/(2+x²)
- (2-x en el grado 2)/(2+x en el grado 2)
- 2-x^2/2+x^2
- (2-x^2) dividir por (2+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (2-x^2)/(2-x^2)
- (2+x^2)/(2+x^2)
Gráfico de la función y = (2-x^2)/(2+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
2 - x
f(x) = ------
2
2 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}$$
f = (2 - x^2)/(x^2 + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(2 - x^{2}\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(2 - x^{2}\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{\left(x^{2} - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)}{x^{2} + 2} - 1\right)}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{\left(x^{2} - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)}{x^{2} + 2} - 1\right)}{x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2 - x^2)/(2 + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - x^{2}}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - x^{2}}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - x^{2}}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - x^{2}}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2} = \frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}$$
- Sí
$$\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2} = - \frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2} = \frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}$$
- Sí
$$\frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2} = - \frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2}$$
- No
es decir, función
es
par