Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1-2x²-(x³/3)

Gráfico de la función y = 1-2x²-(x³/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   3
              2   x 
f(x) = 1 - 2*x  - --
                  3
f(x)=−x33+(1−2x2)f{\left(x \right)} = - \frac{x^{3}}{3} + \left(1 - 2 x^{2}\right) 
f = -x^3/3 + 1 - 2*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x33+(1−2x2)=0- \frac{x^{3}}{3} + \left(1 - 2 x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2−3512+2787i233−123512+2787i23x_{1} = -2 - \frac{\sqrt[3]{\frac{351}{2} + \frac{27 \sqrt{87} i}{2}}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{351}{2} + \frac{27 \sqrt{87} i}{2}}}
Solución numérica
x1=−0.756389356757494x_{1} = -0.756389356757494
x2=0.670621507635621x_{2} = 0.670621507635621
x3=−5.91423215087813x_{3} = -5.91423215087813
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - 2*x^2 - x^3/3.
−033+(1−2⋅02)- \frac{0^{3}}{3} + \left(1 - 2 \cdot 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2−4x=0- x^{2} - 4 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4x_{1} = -4
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(-4, -29/3)

(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−4x_{1} = -4
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
[−4,0]\left[-4, 0\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−4]∪[0,∞)\left(-\infty, -4\right] \cup \left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(x+2)=0- 2 \left(x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Convexa en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x33+(1−2x2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{3}}{3} + \left(1 - 2 x^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x33+(1−2x2))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{3} + \left(1 - 2 x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - 2*x^2 - x^3/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x33+(1−2x2)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{3}}{3} + \left(1 - 2 x^{2}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x33+(1−2x2)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{3}}{3} + \left(1 - 2 x^{2}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x33+(1−2x2)=x33−2x2+1- \frac{x^{3}}{3} + \left(1 - 2 x^{2}\right) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 1
- No
−x33+(1−2x2)=−x33+2x2−1- \frac{x^{3}}{3} + \left(1 - 2 x^{2}\right) = - \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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