Sr Examen

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(8-x)*e^(9-x)
Trazado el gráfico de la función/ (8-x)*e^(9-x)

Gráfico de la función y = (8-x)*e^(9-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                9 - x
f(x) = (8 - x)*E
f(x)=e9−x(8−x)f{\left(x \right)} = e^{9 - x} \left(8 - x\right) 
f = E^(9 - x)*(8 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000000005000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e9−x(8−x)=0e^{9 - x} \left(8 - x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=8x_{1} = 8
Solución numérica
x1=121.389949729147x_{1} = 121.389949729147
x2=8x_{2} = 8
x3=91.4785626915261x_{3} = 91.4785626915261
x4=85.5062407712727x_{4} = 85.5062407712727
x5=99.4482816547886x_{5} = 99.4482816547886
x6=65.6533514231885x_{6} = 65.6533514231885
x7=115.40315817241x_{7} = 115.40315817241
x8=109.418161552262x_{8} = 109.418161552262
x9=57.758798960419x_{9} = 57.758798960419
x10=44.1413894508705x_{10} = 44.1413894508705
x11=51.8762545098096x_{11} = 51.8762545098096
x12=119.394173451874x_{12} = 119.394173451874
x13=49.9272307499711x_{13} = 49.9272307499711
x14=93.4703620749206x_{14} = 93.4703620749206
x15=117.398572537176x_{15} = 117.398572537176
x16=67.6328238138969x_{16} = 67.6328238138969
x17=87.496455118891x_{17} = 87.496455118891
x18=53.8319875396224x_{18} = 53.8319875396224
x19=55.7931569932505x_{19} = 55.7931569932505
x20=95.4626045093137x_{20} = 95.4626045093137
x21=61.7006804984823x_{21} = 61.7006804984823
x22=73.580821222158x_{22} = 73.580821222158
x23=71.5967547129854x_{23} = 71.5967547129854
x24=89.4872456640903x_{24} = 89.4872456640903
x25=46.0568716419232x_{25} = 46.0568716419232
x26=103.435354026019x_{26} = 103.435354026019
x27=69.614029218278x_{27} = 69.614029218278
x28=63.67586733869x_{28} = 63.67586733869
x29=77.5523925194344x_{29} = 77.5523925194344
x30=97.4552548670559x_{30} = 97.4552548670559
x31=42.2454094695441x_{31} = 42.2454094695441
x32=83.5166588459953x_{32} = 83.5166588459953
x33=40.3772961851972x_{33} = 40.3772961851972
x34=113.407942520376x_{34} = 113.407942520376
x35=79.5396566043977x_{35} = 79.5396566043977
x36=101.441656553331x_{36} = 101.441656553331
x37=107.42362649804x_{37} = 107.42362649804
x38=81.5277731870455x_{38} = 81.5277731870455
x39=105.429350983852x_{39} = 105.429350983852
x40=47.9866376954424x_{40} = 47.9866376954424
x41=111.412938828373x_{41} = 111.412938828373
x42=75.5660769899711x_{42} = 75.5660769899711
x43=59.7281686335153x_{43} = 59.7281686335153
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (8 - x)*E^(9 - x).
e9−0(8−0)e^{9 - 0} \left(8 - 0\right)
Resultado:
f(0)=8e9f{\left(0 \right)} = 8 e^{9}
Punto:
(0, 8*exp(9))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(8−x)e9−x−e9−x=0- \left(8 - x\right) e^{9 - x} - e^{9 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=9x_{1} = 9
Signos de extremos en los puntos:
(9, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=9x_{1} = 9
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[9,∞)\left[9, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,9]\left(-\infty, 9\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(10−x)e9−x=0\left(10 - x\right) e^{9 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=10x_{1} = 10

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,10]\left(-\infty, 10\right]
Convexa en los intervalos
[10,∞)\left[10, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e9−x(8−x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{9 - x} \left(8 - x\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e9−x(8−x))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{9 - x} \left(8 - x\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8 - x)*E^(9 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((8−x)e9−xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(8 - x\right) e^{9 - x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((8−x)e9−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(8 - x\right) e^{9 - x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e9−x(8−x)=(x+8)ex+9e^{9 - x} \left(8 - x\right) = \left(x + 8\right) e^{x + 9}
- No
e9−x(8−x)=−(x+8)ex+9e^{9 - x} \left(8 - x\right) = - \left(x + 8\right) e^{x + 9}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (8-x)*e^(9-x)
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