Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3^x*cos(x)

Gráfico de la función y = 3^x*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x       
f(x) = 3 *cos(x)
f(x)=3xcos⁡(x)f{\left(x \right)} = 3^{x} \cos{\left(x \right)} 
f = 3^x*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000050000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3xcos⁡(x)=03^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=14.1371669411541x_{1} = 14.1371669411541
x2=−92.6769832808989x_{2} = -92.6769832808989
x3=−48.6946861306418x_{3} = -48.6946861306418
x4=−23.5619449019235x_{4} = -23.5619449019235
x5=−86.3937979737193x_{5} = -86.3937979737193
x6=−17.2787595947439x_{6} = -17.2787595947439
x7=20.4203522483337x_{7} = 20.4203522483337
x8=−26.7035375555132x_{8} = -26.7035375555132
x9=−64.4026493985908x_{9} = -64.4026493985908
x10=−83.2522053201295x_{10} = -83.2522053201295
x11=−4.71238898038469x_{11} = -4.71238898038469
x12=−42.4115008234622x_{12} = -42.4115008234622
x13=−29.845130209103x_{13} = -29.845130209103
x14=17.2787595947439x_{14} = 17.2787595947439
x15=−108.384946548848x_{15} = -108.384946548848
x16=1.5707963267949x_{16} = 1.5707963267949
x17=−67.5442420521806x_{17} = -67.5442420521806
x18=−36.1283155162826x_{18} = -36.1283155162826
x19=−80.1106126665397x_{19} = -80.1106126665397
x20=−73.8274273593601x_{20} = -73.8274273593601
x21=−10.9955742875643x_{21} = -10.9955742875643
x22=−1.5707963267949x_{22} = -1.5707963267949
x23=−98.9601685880785x_{23} = -98.9601685880785
x24=−20.4203522483337x_{24} = -20.4203522483337
x25=−32.9867228626928x_{25} = -32.9867228626928
x26=−39.2699081698724x_{26} = -39.2699081698724
x27=−58.1194640914112x_{27} = -58.1194640914112
x28=−61.261056745001x_{28} = -61.261056745001
x29=4.71238898038469x_{29} = 4.71238898038469
x30=−76.9690200129499x_{30} = -76.9690200129499
x31=−95.8185759344887x_{31} = -95.8185759344887
x32=−51.8362787842316x_{32} = -51.8362787842316
x33=23.5619449019235x_{33} = 23.5619449019235
x34=−14.1371669411541x_{34} = -14.1371669411541
x35=−7.85398163397448x_{35} = -7.85398163397448
x36=7.85398163397448x_{36} = 7.85398163397448
x37=−45.553093477052x_{37} = -45.553093477052
x38=26.7035375555132x_{38} = 26.7035375555132
x39=−89.5353906273091x_{39} = -89.5353906273091
x40=10.9955742875643x_{40} = 10.9955742875643
x41=−70.6858347057703x_{41} = -70.6858347057703
x42=−54.9778714378214x_{42} = -54.9778714378214
x43=29.845130209103x_{43} = 29.845130209103
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3^x*cos(x).
30cos⁡(0)3^{0} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3xsin⁡(x)+3xlog⁡(3)cos⁡(x)=0- 3^{x} \sin{\left(x \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(−1+1+log⁡(3)2log⁡(3))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}
x2=−2atan⁡(1+1+log⁡(3)2log⁡(3))x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                       /        _____________\                                    
                                       |       /        2    |                                    
       /        _____________\         |-1 + \/  1 + log (3) |    /      /        _____________\\ 
       |       /        2    |   2*atan|---------------------|    |      |       /        2    || 
       |-1 + \/  1 + log (3) |         \        log(3)       /    |      |-1 + \/  1 + log (3) || 
(2*atan|---------------------|, 3                             *cos|2*atan|---------------------||)
       \        log(3)       /                                    \      \        log(3)       // 

                                        /       _____________\                                   
                                        |      /        2    |                                   
        /       _____________\          |1 + \/  1 + log (3) |    /      /       _____________\\ 
        |      /        2    |   -2*atan|--------------------|    |      |      /        2    || 
        |1 + \/  1 + log (3) |          \       log(3)       /    |      |1 + \/  1 + log (3) || 
(-2*atan|--------------------|, 3                             *cos|2*atan|--------------------||)
        \       log(3)       /                                    \      \       log(3)       //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2atan⁡(1+1+log⁡(3)2log⁡(3))x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=2atan⁡(−1+1+log⁡(3)2log⁡(3))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}
Decrece en los intervalos
[−2atan⁡(1+1+log⁡(3)2log⁡(3)),2atan⁡(−1+1+log⁡(3)2log⁡(3))]\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(1+1+log⁡(3)2log⁡(3))]∪[2atan⁡(−1+1+log⁡(3)2log⁡(3)),∞)\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 + \log{\left(3 \right)}^{2}}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3x(−2log⁡(3)sin⁡(x)−cos⁡(x)+log⁡(3)2cos⁡(x))=03^{x} \left(- 2 \log{\left(3 \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(−1+log⁡(3)1+log⁡(3))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(3 \right)}}{1 + \log{\left(3 \right)}} \right)}
x2=2atan⁡(1+log⁡(3)1−log⁡(3))x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \log{\left(3 \right)}}{1 - \log{\left(3 \right)}} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(1+log⁡(3)1−log⁡(3)),2atan⁡(−1+log⁡(3)1+log⁡(3))]\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \log{\left(3 \right)}}{1 - \log{\left(3 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(3 \right)}}{1 + \log{\left(3 \right)}} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,2atan⁡(1+log⁡(3)1−log⁡(3))]∪[2atan⁡(−1+log⁡(3)1+log⁡(3)),∞)\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \log{\left(3 \right)}}{1 - \log{\left(3 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(3 \right)}}{1 + \log{\left(3 \right)}} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3xcos⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(3xcos⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3^x*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3xcos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3xcos⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3xcos⁡(x)=3−xcos⁡(x)3^{x} \cos{\left(x \right)} = 3^{- x} \cos{\left(x \right)}
- No
3xcos⁡(x)=−3−xcos⁡(x)3^{x} \cos{\left(x \right)} = - 3^{- x} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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