Gráfico de la función y = sin2x+6sinx-2x

Ha introducido [src]

f(x) = sin(2*x) + 6*sin(x) - 2*x

$$f{\left(x \right)} = - 2 x + \left(6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)$$

f = -2*x + 6*sin(x) + sin(2*x)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 2 x + \left(6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.11787416788953$$
$$x_{3} = -2.11787416788953$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x) + 6*sin(x) - 2*x.
$$\left(\sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + 6 \sin{\left(0 \right)}\right) - 0$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$6 \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:

             ___        
 -pi     7*\/ 3    2*pi 
(----, - ------- + ----)
  3         2       3

                  ___ 
 pi    2*pi   7*\/ 3  
(--, - ---- + -------)
 3      3        2

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(3 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}\right]$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x + \left(6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x + \left(6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x) + 6*sin(x) - 2*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + \left(6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 2 x$$

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 2 x + \left(6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x - 6 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$$
- No
$$- 2 x + \left(6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = - 2 x + 6 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = sin2x+6sinx-2x

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución