Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$3 \left(- \frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x - 3}\right) \log{\left(x \right)} + \frac{3}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 3 W\left(- \frac{1}{3 e}\right)$$
$$x_{2} = - 3 W_{-1}\left(- \frac{1}{3 e}\right)$$
Signos de extremos en los puntos:
/ -1 \ / / -1 \\
|-e | | |-e ||
/ -1 \ 9*W|-----|*log|-3*W|-----||
|-e | \ 3 / \ \ 3 //
(-3*W|-----|, -1 - ---------------------------)
\ 3 / / -1 \
|-e |
-3 - 3*W|-----|
\ 3 /
/ -1 \ / / -1 \\
|-e | | |-e ||
/ -1 \ 9*W|-----, -1|*log|-3*W|-----, -1||
|-e | \ 3 / \ \ 3 //
(-3*W|-----, -1|, -1 - -----------------------------------)
\ 3 / / -1 \
|-e |
-3 - 3*W|-----, -1|
\ 3 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 W_{-1}\left(- \frac{1}{3 e}\right)$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 3 W\left(- \frac{1}{3 e}\right)$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 W\left(- \frac{1}{3 e}\right)\right] \cup \left[- 3 W_{-1}\left(- \frac{1}{3 e}\right), \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 3 W\left(- \frac{1}{3 e}\right), - 3 W_{-1}\left(- \frac{1}{3 e}\right)\right]$$