Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- x - \frac{1}{\left(3 - x\right) \log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 + \log{\left(512 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{4 + \log{\left(512 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}} + \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ______________\ / ______________\
|3 \/ 4 + log(512) | | 3 \/ 4 + log(512) |
|- + ----------------| pi*I + log|- - + ----------------|
______________ |2 ________ | | 2 ________ |
3 \/ 4 + log(512) \ 2*\/ log(2) / \ 2*\/ log(2) /
(- + ----------------, 3 - ----------------------- + ----------------------------------)
2 ________ 2 log(2)
2*\/ log(2)
2
/ ______________\ / ______________\
|3 \/ 4 + log(512) | |3 \/ 4 + log(512) |
|- - ----------------| log|- + ----------------|
______________ |2 ________ | |2 ________ |
3 \/ 4 + log(512) \ 2*\/ log(2) / \ 2*\/ log(2) /
(- - ----------------, 3 - ----------------------- + -------------------------)
2 ________ 2 log(2)
2*\/ log(2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{4 + \log{\left(512 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}} + \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{4 + \log{\left(512 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}} + \frac{3}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{4 + \log{\left(512 \right)}}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$